¿Cuándo no tratar dy/dx como una fracción en cálculo de una variable?

Question

Mientras sé que $\frac{dy}{dx}$ no es una fracción y no debe ser tratada como tal, en muchas situaciones, hacer cosas como multiplicar ambos lados por $dx$ e integrar, cancelar términos, hacer cosas como $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ funciona bastante bien.

Entonces quería saber: ¿Hay algún caso particular (en cálculo de una variable) en el que debamos estar atentos, donde tratar $\frac{dy}{dx}$ como una fracción dé respuestas incorrectas, en particular, a nivel introductorio?

Nota: Por favor, proporciona instancias específicas y ejemplos donde tratar $\frac{dy}{dx}$ como una fracción falla

Answer 1

Es debido al extraordinario poder de la notación diferencial de Leibniz, que te permite tratarlas como fracciones al resolver problemas. La justificación de este proceso mecánico es evidente a partir del siguiente resultado general:

Sea $ y=h(x)$ cualquier solución de la ecuación diferencial separada $A(y)\dfrac{dy}{dx} = B(x)$... (i) tal que $h'(x)$ es continua en un intervalo abierto $I$, donde se asume que $B(x)$ y $A(h(x))$ son continuas en $I$. Si $g$ es cualquier primitiva de $A$ (es decir, $g'=A$) en $I$, entonces $h$ satisface la ecuación $g(y)=\int {B(x)dx} + c$...(ii) para alguna constante $c$. Además, si $y$ satisface (ii) entonces $y$ es una solución de (i).

También sería aconsejable decir que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$ solo cuando la función $y(x)$ sea invertible.

Supongamos que te piden encontrar la ecuación de la normal a una curva $y(x)$ en un punto particular $(x_1,y_1)$. En general, deberías escribir la pendiente de la ecuación como $-\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}\big|_{(x_1,y_1)}$ en lugar de simplemente escribirla como $-\dfrac{dx}{dy}\big|_{(x_1,y_1)}$ sin comprobar la invertibilidad de la función (lo cual sería redundante aquí). Sin embargo, los cálculos numéricos serán los mismos en cualquier caso.

EDICIÓN.

La notación de Leibniz asegura que no surgirá ningún problema si se tratan los diferenciales como fracciones porque funciona de manera excelente en cálculo de una variable. Pero explícitamente declararlos como 'fracciones' en cualquier examen/prueba podría costarte los importantes puntos. Uno podría ser criticado en este caso por no ser lo suficientemente formal en su enfoque.

También echa un vistazo a esta respuesta que explica los posibles peligros del tratamiento de fracciones.

Answer 2

En cálculo tenemos esta relación entre diferenciales: $dy = f^{\prime}(x) dx$ lo cual se puede escribir como $dy = \frac{dy}{dx} dx$. Si tienes $\frac{dy}{dx} = \sin x$, entonces es legal multiplicar ambos lados por $dx$. En el lado izquierdo tienes $\frac{dy}{dx} dx$. Cuando lo reemplazas con $dy$ usando la relación anterior, parece como si hubieras cancelado los $dx$. Tal reemplazo es tan parecido a una división que casi no se puede notar la diferencia.

Por otro lado, si tienes una función definida implícitamente $f(x,y) = 0$, la diferencial total es $f_x \;dx + f_y \;dy = 0$. "Resolviendo" para $\frac{dy}{dx}$ obtenemos $$\frac{dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y} = -\frac{\partial f / \partial x}{\partial f /\partial y}.$$ Esta es la fórmula correcta para la diferenciación implícita, a la cual llegamos tratando $\frac{dy}{dx}$ como una razón, pero luego mira la última fracción. Si la simplificas, obtienes la ecuación $$\frac{dy}{dx} = -\frac{dy}{dx}$$. Ese molesto signo negativo se cuela porque revertimos los roles de $x$ y $y$ entre las dos derivadas parciales. Frustrante.

Answer 3

Hay lugares donde es "evidente" que no deberíamos aplicar ciegamente las leyes de la aritmética a $\frac{dy}{dx}$ como si fuera una razón de números reales $dy$ y $dx$. Un ejemplo de otra pregunta es $$ \frac{dy}{dx}+\frac{du}{dv} \overset ?= \frac{dy\,dv+dx\,du}{dx\, dv}, $$ donde el lado izquierdo tiene una interpretación clara pero el lado derecho no.

En cuanto a cualquier ecuación falsa que en realidad podrías estar tentado a escribir tratando $\frac{dy}{dx}$ como una razón, sin embargo, no he visto contraejemplos reales en ninguna de las varias preguntas relacionadas y sus respuestas (incluyendo la pregunta ya mencionada, esta pregunta, o esta pregunta).

En la práctica, el problema que veo al tratar $\frac{dy}{dx}$ como si fuera una razón no es si una ecuación es verdadera o no, sino cómo sabemos que es verdadera. Por ejemplo, si escribes $\frac{dy}{dx} \, \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$ porque te parece que los términos $dx$ se cancelan, sin haber aprendido primero (o descubierto) la regla de la cadena y haber reconocido que justifica esta ecuación en particular, entonces diría que estás simplemente haciendo una suposición mal educada sobre esta ecuación en lugar de hacer matemáticas. (Concederé que la ecuación es matemáticamente válida incluso si no recuerdas que se llama la "regla de la cadena". Creo que ese detalle en particular es principalmente importante al enseñar o al responder preguntas sobre exámenes de cálculo diseñados para probar si estabas prestando atención cuando se introdujo esa regla).

Answer 4

Lo más importante es que existe una cosa llamada "diferencial", y podemos hacer que cosas como $\mathrm{d}y$ o $\mathrm{d}f(t)$ signifiquen una de esas cosas.

Podemos multiplicar diferenciales por funciones (por ejemplo, $x^2 \mathrm{d}x$), y podemos sumar diferenciales, y estas operaciones se comportarán como uno espera que lo hagan.

No intentes multiplicar dos diferenciales, sin embargo: la forma correcta de hacerlo probablemente no se comporta como uno espera.

$\mathrm{d}$ satisface las 'leyes' de la diferenciación; por ejemplo, $\mathrm{d}f(t) = f'(t) \mathrm{d}t$ y $\mathrm{d}(xy) = x \mathrm{d}y + y \mathrm{d}x$.

No intentes diferenciar una diferencial tampoco; la forma usual de hacerlo nuevamente no se comporta como uno espera, y probablemente no está relacionada con lo que querías hacer de todas formas.

De todas formas, si tienes una ecuación como $\mathrm{d}y = 2x \mathrm{d}x$ (por ejemplo, aplicando $\mathrm{d}$ a la ecuación $y = x^2$) y $\mathrm{d}x$ es "distinto de cero" en un sentido adecuado, entonces tiene sentido definir $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ como la razón entre las diferenciales.

El cálculo de variable única es peculiar en el sentido de que todas las variables y expresiones con las que trabajas tendrán diferenciales que son múltiplos unos de otros. Esto no es cierto en general; por ejemplo, si $x$ e $y$ son independientes, entonces $\mathrm{d}x$ y $\mathrm{d}y$ no son múltiplos uno de otro, y $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ es un completo disparate.

Las diferenciales siguen siendo muy útiles en dicho contexto, aunque el enfoque "usual" tiende a ignorarlas.

Existe una noción llamada "derivada parcial", a menudo con notación similar $\frac{\partial y}{\partial x}$, pero realmente no vale la pena tratarla como una fracción, y no existe realmente una noción correspondiente de $\partial x$.

Answer 5

En cálculo de una sola variable, no conozco ni un solo caso de obtener resultados incorrectos al tratar $\frac{dy}{dx}$ como una proporción. De hecho, es por esto que hay tan pocos errores en Leibniz, quien sí lo trató como una proporción. Sin embargo, definitivamente hay momentos en los que no deberías tratarlo como una proporción. No deberías hacerlo durante los exámenes del curso, ya que la reacción del instructor seguramente será restar puntos.