¿Puede haber una función inyectiva cuyo derivado sea equivalente a su función inversa?

Question

Digamos que $f:D \to R$ es una función inyectable en algún dominio donde también es diferenciable. Para una función real, es decir $D \subset\mathbb R, R \subset\mathbb R$ ¿es posible que $f'(x) \equiv f^{-1}(x)$ ?

Intuitivamente hablando, Sospecho que esto no es posible pero no puedo proporcionar una prueba razonable ya que sé que muy poco nada sobre el análisis funcional. ¿Puede alguien dar un (contra)ejemplo o demostrar que esa función no existe?

Answer 1

¡Es posible! Aquí hay un ejemplo en el dominio $D=[0,\infty)$ : $$ f(x) = \bigg(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\bigg)^{(\sqrt5-1)/2} x^{(\sqrt5+1)/2}. $$ Encontré esto suponiendo que $f(x)$ tenía la forma $ax^b$ fijando la derivada igual a la función inversa, y resolviendo para $a$ y $b$ .

Answer 2

En $(0, \infty)$ , toma $f(x) = a x^p$ donde $p = (\sqrt{5}+1)/2$ (para que $p(p-1) = 1$ ) y $a = p^{-1/p}$ .

Answer 3

Ya ha habido ejemplos con $f: D \to \mathbb R$ pero tenga en cuenta que no es posible con $f:\mathbb R \to \mathbb R$ . Un argumento sencillo es que para una función $f$ para ser inyectiva, necesariamente $f'(x) \geq 0$ ou $f'(x) \leq 0$ para todos $x$ . Así podemos ver que para que haya igualdad entre $f'(x)$ y $f^{-1}(x)$ , entonces debemos tener $f^{-1}(x) \geq 0$ ou $f^{-1}(x) \leq 0$ para todos $x$ .

Pero esto no puede ocurrir, porque cualquier función definida en $f: \mathbb R \to \mathbb R$ debe tener su inversa que va de positivo a negativo para algunos $x$ . Para confirmarlo, basta con observar el hecho de que la inversa de cualquier línea horizontal debe cruzar el eje x volteando la línea $y=x$ y luego añadir curvas a esa línea para encontrar que nada ha cambiado, y todavía debe cruzar el eje x.

Answer 4

Ya que alguien mencionó si la respuesta dada por Robert Israel / Greg Martin podría ser única, pensé que vale la pena señalar que la función $$f(x)=-\frac{1}{\phi^\phi}(-x)^{-\frac{1}{\phi}},\quad x<0$$ donde $\phi$ es la proporción áurea, tiene la misma propiedad en $D=(-\infty,0)$ es decir $f'(x)\equiv f^{-1}(x)$ .

Edit- Así que si definimos: $$f:\mathbb R\to\mathbb R\\x\mapsto a(x/a)^a$$ donde $a=\frac{1+\sqrt{5}\text{ sign}(x)}{2}$ tendríamos una biyección en $\mathbb R$ con esa bonita propiedad (¡yay!...).