Vi esto escondido en un Comentario de MathOverflow y hago esta pregunta para preservarlo (¿y publicitarlo?). ¡Es un buen problema!
El problema: Supongamos que $A$ y $B$ son reales $n\times n$ matrices con $A^2+B^2=AB$ . Si $AB-BA$ es invertible, demuestre que $n$ es un múltiplo de $3$ .
Dejemos que $\omega$ sea una raíz tercera primitiva de la unidad. Entonces $(A+\omega B)(A+\omega^2B)=\omega(BA-AB)$ . Desde $A+\omega^2B=\overline{A+\omega B}$ , obtenemos que $\det(A+\omega B)(A+\omega^2B)$ $=$ $\det(A+\omega B)\det(A+\omega^2B)$ $=$ $\det(A+\omega B)\det(\overline{A+\omega B})$ $=$ $\det(A+\omega B)\overline{\det(A+\omega B)}$ es un número real, es decir, $\omega^n\det(BA-AB)$ es un número real. Como $\det(BA-AB)\neq 0$ conseguimos que $\omega^n$ es un número real, y esto ocurre sif $3\mid n$ .
I. Dejemos que $k$ sea un campo y consideremos el álgebra $\def\A{\mathcal A}\A_k=k\langle a,b:a^2+b^2-ab\rangle$ . Tenemos $$ aaa = aab - abb = abb - bbb - abb = - bbb $$ y $$ aaa = aba - bba, $$ para que $$ aba = bba - bbb. $$ Dejemos que $x=ab-ba$ . Entonces \begin{gather} ax = aab-aba = abb - bbb - bba + bbb = abb - bba, \\ bx = bab-bba, \\ xa = aba - baa = bba - bbb - bab + bbb = bba - bab, \\ xb = abb - bab, \\ \end{gather} para que de hecho \begin{gather} ax = x(-a+b), \\ bx = x(-a). \end{gather} Existe un automorfismo $\sigma:\A_k\to\A_k$ tal que $\sigma(a)=-a+b$ y $\sigma(b)=-a$ y las dos ecuaciones anteriores implican inmediatamente que $$ \text{$ ux = x\sigma(u) $ for all $ u\in\A_k $.}$$ Desde $\sigma^3=\mathrm{id}_{\A_k}$ se deduce que $x^3$ es fundamental en $\A_k$ .
Si $V$ es un $\A_k$ -módulo, escribamos $m_u:v\in V\mapsto uv\in V$ .
II. Dejemos que $V$ sea una simple izquierda de dimensión finita $\def\CC{\mathbb C}\A_\CC$ -y supongamos que $m_x$ es invertible. El mapa $m_{x^3}$ es un endomorfismo de $V$ como módulo porque $x^3$ es fundamental en $A$ por lo que el lema de Schur nos dice que existe un $\lambda\in\CC$ tal que $m_{x^3}=\lambda\cdot\mathrm{id}_V$ . Desde $m_x$ es invertible, $\lambda\neq0$ y existe un $\mu\in\CC\setminus0$ tal que $\mu^3=\lambda$ . Sea $y=x/\mu$ para que $m_y^3=m_{y^3}=\mathrm{id}_V$ .
Se deduce que los valores propios de $m_{y}$ son raíces cúbicas en la unidad. Por otro lado, tenemos $m_y=[m_a,m_b]/\mu$ para que $\operatorname{tr}m_y=0$ . Ahora, las únicas combinaciones lineales con coeficientes enteros de las tres raíces cúbicas de la unidad que desaparecen son aquellas en las que las tres raíces tienen el mismo coeficiente. Como $\operatorname{tr} y$ es la suma de los valores propios de $m_y$ tomado con multiplicidad, concluimos que las tres raíces de la unidad tienen la misma multiplicidad que los valores propios de $m_y$ . Esto sólo es posible si $\dim V$ es divisible por 3.
III. De manera más general, dejemos ahora $V$ sea una dimensión finita $\A_\CC$ -tal que el mapa $v\in V\mapsto xv\in V$ es invertible. Como $V$ tiene una dimensión finita, tiene una longitud finita como $\A$ -y es una extensión iterada de un número finito de módulos simples $\A$ -módulos. Cada uno de estos módulos tiene la propiedad de que $x$ actúa biyectivamente sobre ella, por lo que sabemos que su dimensión es divisible por $3$ . Se deduce entonces que la dimensión de $V$ es divisible por $3$ .
IV. Dejemos ahora $V$ sea una dimensión finita $\def\RR{\mathbb R}\A_\RR$ -módulo en el que $x$ actúa de forma biyectiva. Entonces $\CC\otimes_\RR V$ es una dimensión finita $\CC\otimes_\RR\A_\RR$ -módulo. Dado que $\CC\otimes_\RR\A_\RR$ es obviamente isomorfo a $\A_\CC$ Sabemos que $\dim_\CC\CC\otimes_\RR V$ es divisible por tres, y entonces también lo es $\dim_\RR V$ porque esto es de hecho igual a $\dim_\CC\CC\otimes_\RR V$ .
Esta conclusión es precisamente la que buscábamos.
De hecho, la conclusión a la que se llega en III es más fuerte que la de IV.
Todo esto parece raro, pero es muy, muy natural. Un par de matrices que satisfacen la relación $A^2+B^2=AB$ da una representación del álgebra $\A_k$ . Es natural que se intente obtener una base para $\A_k$ como mínimo, y esto se suele hacer utilizando el lema del diamante de Bergman. La primera parte del cálculo realizado en I es el comienzo de eso.
A continuación, no nos interesan todos los $\A_k$ módulos pero sólo en aquellos en los que $X=[A,B]$ es invertible. Esto es lo mismo que los módulos que en realidad son módulos sobre la localización de $\A_k$ en $x=[a,b]$ . La informática en una localización así es un dolor de cabeza, a menos que el elemento en el que estamos localizando es normal: uno por lo tanto motivado para comprobar la normalidad. Resulta que $x$ es normal; existe entonces un endomorfismo del álgebra unido a ella, que es $\sigma$ . Uno reconoció inmediatamente $\sigma$ que viene dada por una matriz de orden $3$ . El resto es teoría de la representación estándar.
En cierto modo, esto da una método para resolver este tipo de problemas. Kevin preguntó en MO: "¿Existen realmente libros que te enseñen a resolver este tipo de problemas?" y la respuesta es sí: ¡en eso consiste precisamente la teoría de la representación!
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