¿Por qué $\frac{1}{x} < 4$ tiene dos respuestas?

Question

La solución de $\frac{1}{x} < 4$ me da $x > \frac{1}{4}$. El libro sin embargo, los estados que la respuesta es: $x < 0$ o $x > \frac{1}{4}$.

Mis preguntas son:

¿Por qué esta desigualdad tiene dos respuestas (preferiblemente la intuición detrás de ella)?

Cuando el uso de Wolfram Alpha me da dos respuestas, pero cuando el uso de $1 < 4x$ solo me da una respuesta. No son las dos formas equivalentes?

Answer 1

Tienes que ser cuidadoso cuando se multiplica por $x$ desde $x$ puede ser negativa y, por tanto, de un tirón la desigualdad. Supongamos $x>0$. Entonces $$\frac{1}{x}<4\iff4x>1\iff x>1/4.$$ Si $x>0$$x>1/4$,$x>1/4$.

Ahora supongamos $x<0$. Entonces $$\frac{1}{x}<4\iff4x<1\iff x<1/4.$$ Si $x<0$$x<1/4$,$x<0$. Por lo que el conjunto solución es $(-\infty,0)\cup(1/4, \infty).$

Answer 2

Aquí está la solución $$\frac { 1 }{ x } <4$$$$ \frac { 1-4x }{ x } <0$$$$ \frac { x\left( 1-4x \right) }{ { x }^{ 2 } } <0$$$$ x\left( 1-4x \right) <0$$$$ x\left( 4x-1 \right) >0 $$

por lo $$x\in \left( -\infty ,0 \right) \cup \left( \frac { 1 }{ 4 } ,+\infty \right) $$

Answer 3

Estoy siguiendo la sugerencia dada por @quid en los comentarios porque me gustan las fotos:

La naranja/línea roja es la $x$-eje. La línea amarilla es la línea de $y=4$. Los dos azul curvas de la gráfica de $y=1/x$. La solución a la desigualdad es el conjunto de $x$ valores para los cuales la curva azul está por debajo de la línea amarilla. Como @quid predicho, esta imagen da una cierta intuición de por qué hay dos "zonas" en la solución.

Nota: originalmente tenía $y=\frac{1}{4}$, lo que era incorrecto, así que he cambiado la respuesta para reflejar el hecho de que debería ser $y=4$ y re-traza la gráfica.

Answer 4

El aceptó la respuesta es buena, pero siento que está preguntando: ¿por qué hay sólo una pieza a la pregunta, pero dos piezas a la respuesta?

Esta es una buena pregunta. A veces sucede que una pieza se convierte en dos (o más), como cuando se intenta solucionar $x^2 = 9$ (que tiene "una pieza") y obtener las dos piezas de la solución de $x = 3, -3$. Aquí, para averiguar por qué una pieza se convierte en dos, usted tiene que pensar acerca de cómo la ecuación de $y = x^2$ obras.

En nuestro caso deberíamos pensar acerca de cómo la ecuación de $y = 1/x$ obras. Y cuando lo piensas, te das cuenta de que en realidad no se inicie con una sola pieza. No importa lo que usted conecte para $x$, el valor de $1/x$ nunca puede ser cero. Y eso significa que cuando usted escribe $1/x < 4$, realmente esto le da a usted las DOS piezas

$$ 0 < 1/x < 4 $$

y

$$ 1/x < 0 $$

Básicamente, todo menor de 4 pero con cero eliminado. Y es por eso que usted termina con dos piezas en la final ... porque eso es en realidad lo que se comenzó con!

Answer 5

Cuando usted está escribiendo $x \gt \frac{1}{4}$ estás asumiendo $x \gt 0$.

Pero para $x \lt 0$ $\frac{1}{x}\lt0\lt4$