¿Existe alguna función sencilla que genere las series; $1,1,2,1,1,2,1,1,2...$ o $-1,-1,1,-1,-1,1...$

Question

Estoy pensando en esta pregunta en el sentido de que a menudo tenemos un término $(-1)^n$ para un número entero $n$ de modo que obtenemos una secuencia $1,-1,1,-1...$ pero estoy tratando de encontrar una expresión que sólo da cada 3er término como positivo, por lo que se leería; $-1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1...$

Alternativamente, una secuencia que produzca $1,1,2,1,1,2,1,1,2...$ también podría funcionar, ya que $n$ podría sustituirse por ella en $(-1)^n$

Answer 1

Puede consultar OEIS que le ofrece varias formas de generar su secuencia.

Por ejemplo:

$$a_n=2-((n+1)^2 \pmod 3)$$

$$a_n=\frac{4}{3} - \frac{\cos(2\pi n/3)}{3} - \frac{\sin(2\pi n/3)}{\sqrt3}$$

Answer 2

Se puede utilizar una función trigonométrica simple cuyo período sea $3$ . Por lo tanto, podemos probar una función de la forma $$f(x)=a\cos\left(\frac{2\pi x}{3}\right)+b$$

Sustituyendo las coordenadas $(0,2),(1,1)$ da los valores de $a,b$ y terminamos con $$f(x)=\frac 23\cos\left(\frac{2\pi x}{3}\right)+\frac 43$$ y esto genera la secuencia requerida.

Answer 3

¡Nada de operarios!

$f(x) = \begin{cases} -1 & \text{if}~x=0\\ -1 & \text{if}~x=1\\ 1 & \text{if}~x=2\\ f(x-3) & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Answer 4

Sea $\omega \neq 1$ sea una raíz cúbica de la unidad. Tenemos que $1 + \omega + \omega^2 = 0$ es decir $\omega + \omega^2 = -1$ . También, $w^{-1} = \omega^2$ y $\omega^3 = 1$ .

Ponga $a_n = \omega^n + \omega^{-n}$ . Obtenemos las secuencias

$$\begin{eqnarray*} a_0 &=& \omega^{0} + \omega^{0} = 2 \\ a_1 &=& \omega^{1} + \omega^{-1} = \omega^{1} + \omega^{2} = -1 \\ a_2 &=& \omega^{2} + \omega^{-2} = \omega^{2} + \omega^{1} = -1 \\ \end{eqnarray*}$$

y luego se repite la secuencia.

Si pones $b_n = \frac{2 a_n -1}{3}$ entonces se obtiene $1, -1, -1, 1, -1, -1, \cdots$ .

Answer 5

¿Qué te parece?

$$(n\bmod3)^2-3(n\bmod3)+1$$