Que $G = \mathbb{R} / \mathbb{Q}$. ¿Es un grupo interesante para el estudio?
¿Es isomorfo a objetos matemáticos más naturales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Su estructura está totalmente determinado, al ser un múltiplo de torsión libre abelian grupo; se trata de torsión libre porque, para $n\in\mathbb{N}$, $n>0$, y $x\in\mathbb{R}$,
$$ n(x + \mathbb{Q}) = \mathbb{Q} $$
es equivalente a $nx\in\mathbb{Q}$, por lo que a $x\in\mathbb{Q}$.
Por lo tanto $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ es un espacio vectorial de dimensión$\mathfrak{c}=\lvert\mathbb{R}\rvert$$\mathbb{Q}$, por la cardinalidad de argumento. Esto implica, como se observa en los comentarios, que, como $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales y así como abelian grupos,
$$ \mathbb{R}/\mathbb{Q}\cong\mathbb{R}. $$
Encontrar un fundamento para ello significaría encontrar una base de Hamel $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$, debido a la canónica $\mathbb{Q}$-lineal de asignación de
$$ \pi\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Q} $$
Sólo elige elementos $x_\alpha\in\mathbb{R}$ que se asignan a una base de $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$; añadiendo $1$ a esta familia se iba a producir una base de Hamel para $\mathbb{R}$.
DonAntonio
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Bueno, es un abelian libre de torsión con una cantidad incontable (cardinal) de elementos y, por lo tanto, es también un grupo no finitamente generado.
También está interesado en el hecho de que
$$\Bbb R/\Bbb Q\cong\left(\Bbb R/\Bbb Z\right)/\left(\Bbb Q/\Bbb Z\right)$$
así que el $\,\Bbb R/\Bbb Q\,$ es un cociente del Grupo círculo
