¿$\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ converge implica $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|^2$ converge?

Question

Posible duplicado:
Demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}\ a_n^2$ es convergente si $\sum_{n=1}^{\infty}\ a_n$ es absolutamente convergente

¿Si $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ converge, $\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n)^2$ también es siempre convergente?

Answer 1

Sugerencia:

1. Si $\sum |a_n|<\infty$ y $a_n\to 0$

2. Si tienes $a_n\to 0$ entonces después algunos $n$ $a^2_n\leq |a_n|$ (¿por qué?)

Answer 2

Si $\sum |a_n|$ converge, entonces $|a_n|\to 0$ y por lo tanto suficientemente grande $n$, que $n>N$, $|a_n|<1$.

Tal $n>N$, $|a_n|^2<|a_n|$, que $\sum |a_n|^2<\sum |a_n|$ y así por comparación, $\sum|a_n|^2<\infty$.