evaluación de

Question

Evaluar la integral definida $$ me = \int_ {0} ^ {\pi/2} \frac {\sin (2015 x)} {\sin x + \cos x} \;dx $$

Mi intento:

Usando la identidad

$ \int_{0}^{a}f (x) \;dx = \int_{0}^{a}f(a-x)\;dx $$

Cambio $\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ $x$ en la integral para obtener

$$\begin{align} \int_0^{\pi/2}\frac{\sin (2015x)}{\sin x+\cos x}\;dx &= \int_0^{\pi/2}\frac{\sin \left(\frac{2015\pi}{2}-2015 x\right)}{\cos x+\sin x}\;dx\\ &= \int_0^{\pi/2}\frac{\cos (2015x)}{\sin x+\cos x}\;dx \end {Alinee el} $$

¿Cómo puedo completar la solución de este punto?

Answer 1

Pregunta relacionada. Como se mencionaba en un comentario, con la sustitución $t=x-\pi/4$ puede reescribir el integral como %#% $ de #% donde $$I=\sqrt{2}\sin\frac{2015\pi}{4}\int_0^{\pi/4}\frac{\cos 2015x}{\cos x}\,dx=-\int_0^{\pi/4}\frac{\cos 2015x}{\cos x}\,dx=-I_{2015},$ $ ahora dejarnos recordar la identidad $$I_n=\int_0^{\pi/4}\frac{\cos nx}{\cos x}\,dx.$, es decir, $\cos nx=2\cos x\cos (n-1)x-\cos(n-2)x$$$\frac{\cos nx}{\cos x}=2\cos (n-1)x-\frac{\cos(n-2)x}{\cos x}.$n = 2015$ tenemos $ For $ $ $$I_{2015}=\int_0^{\pi/4}\frac{\cos 2015x}{\cos x}\,dx=\frac{2}{2014}\sin\frac{2014\pi}{4}-I_{2013}=-\frac{1}{1007}-\frac{2}{2012}\sin\frac{2012\pi}{2}+I_{2011}=$ $ donde $$=-\frac{1}{1007}+\frac{1}{1005}-I_{2009}=\ldots=\sum_{k=1}^{504} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}-I_1,$. Así %#% $ de #% observando que $I_1=\pi/4$, usted puede también escribir en la forma $$I=-I_{2015}=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=1}^{504} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}.$ $