¿Qué representa físicamente el número de Reynolds de un flujo?

Question

¿Qué hace el Número de Reynolds de un flujo representan físicamente?

Tengo problemas para entender el significado y la utilidad del número de Reynolds para un determinado flujo, ¿podría alguien decirme en qué consiste este tipo de factor adimensional y qué nos dice sobre un problema?

Answer 1

Del artículo de Wikipedia para el número de Reynolds:

En mecánica de fluidos, el número de Reynolds (Re) es un número adimensional que da una medida de la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas y, en consecuencia, cuantifica la importancia relativa de estos dos tipos de fuerzas para unas condiciones de flujo determinadas.

Además de medir la relación entre las fuerzas de inercia y las viscosas en un flujo, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes pueden escribirse en forma adimensional, de modo que el único parámetro es el número de Reynolds (ignorando las fuerzas del cuerpo). Esto es muy bueno porque es la base de la validez de las pruebas en el túnel de viento.

Supongamos que queremos medir la aerodinámica del flujo alrededor de un Boeing 747. Existen dos (al menos) opciones:

1. Construye tu propio 747 de tamaño natural, instrúyelo y vuélalo. (extremadamente caro)
2. Construir un pequeño modelo a escala de un 747, instrumentarlo, probarlo en un túnel de viento (mucho más barato)

Pero, ¿cómo sabemos que el flujo que medimos en el túnel de viento es el que realmente ocurre en vuelo? Igualamos los números de Reynolds y las mismas ecuaciones modelan ambas situaciones, por lo que la aerodinámica debe ser la misma. (Ignorando los efectos de la compresibilidad).

Answer 2

Número de Reynold se define como: $$ \text{Re} = \frac{ v D }{ \nu } $$ donde $v$ es la velocidad característica del flujo, $D$ es un tamaño característico y $\nu$ es la viscosidad cinemática.

Ahora bien, ¿por qué debería importarnos? ¿Por qué es importante el número de Reynold? Bueno, lo primero que hay que saber es que el número de Reynolds es un número adimensional. Esto significa que tiene un cierto poder que los números dimensionales no tienen. Es un número puro y no depende de ninguna manera de su elección particular de unidades. Esto significa que tiene algún tipo de intrínseco o universal significado fuera de cualquier construcción humana.

En particular, se puede pensar que el número de Reynold mide la velocidad relativa del flujo. Cabría esperar que la física de los fluidos fuera diferente para los flujos lentos y rápidos, pero esta cuestión en sí misma no está bien definida. Lento o rápido en comparación con qué ? Esto es lo que nos dice el número de Reynold. Nos dice si el flujo es lento o rápido al formar una medida natural no dimensional de la velocidad del flujo. Como es un número puro, esperamos comportamientos cualitativamente diferentes si $\text{Re} \ll 1$ y $\text{Re} \gg 1$ .

Y esto es precisamente lo que observamos. El límite bajo del número de Reynold corresponde a cosas como las canicas que caen en el jarabe de maíz, o las gotas de las nubes en el aire, o las bacterias en el agua. Se trata de flujos viscosos lentos en los que las fuerzas de arrastre son proporcionales a la velocidad.

Por otro lado, en el límite de flujo alto, tenemos el flujo turbulento, donde se crean remolinos detrás de nuestro objeto o alrededor de los bordes en las tuberías, este es el límite general al que corresponde la mayoría de las cosas en el aire a escala humana, por lo que estás familiarizado con el flujo turbulento intuitivamente. En este límite, la resistencia es proporcional a $v^2$ . Las cosas grandes, como las personas, estarán en este régimen turbulento en el aire incluso a velocidades tan pequeñas como 0,1 m/s o algo así. Este es el límite en el que la viscosidad deja de tener importancia, y en la mayor parte de los casos podemos imaginar que el flujo en un fluido se corresponde con el simple barrido del fluido delante de nuestros cuerpos de interés.

Por ejemplo, observe la fuerza de arrastre que siente una esfera en función del número de Reynold (de wikipedia )

En el límite del número de Reynold bajo, el coeficiente de arrastre escala como $\text{Re}^{-1}$ mientras que en el límite superior es aproximadamente constante.

Flujo de impulso

Considérelo de otra manera. La viscosidad cinemática es la constante de difusión del momento en un fluido. Es la rapidez con la que el momento se propaga debido a las colisiones entre las diferentes moléculas de un fluido. Veamos un par de momentos relevantes para el flujo de un fluido.

En primer lugar, observamos que $\nu/D$ tiene las dimensiones de una velocidad, por lo que $D^2/\nu$ tiene las dimensiones del tiempo. (Aquí $D$ es un tamaño característico del objeto y $\nu$ es la viscosidad cinemática). ¿Qué representa este tiempo? Como la viscosidad cinemática es una constante de difusión del momento, la relación $D^2/\nu$ nos indica la escala de tiempo para que el impulso se desplace una distancia característica $D$ . Desde $D$ es el tamaño de nuestro objeto, esto debería corresponder, aproximadamente, al tiempo que tarda la presencia del objeto en ser transferida a través del fluido desde un extremo del objeto al otro. Es el tiempo que tarda el fluido en "fluir" alrededor del objeto. (Más exactamente, es el tiempo que tardan las perturbaciones de momento en el fluido en fluir alrededor del objeto).

Pero hay otro momento característico: $D/v$ . Este segundo tiempo corresponde al tiempo que tarda un objeto en desplazarse una distancia igual a su tamaño. $v$ es la velocidad a la que se desplaza (respecto al fluido) y $D$ es su tamaño, por lo que se moverá una distancia $D$ en el tiempo $D/v$ .

El número de Reynolds es la relación de estos dos tiempos $$ \text{Re} = \frac{ D^2 / \nu}{ D/v} = \frac{ v D }{ \nu} $$ Por lo tanto, mide la relación entre el tiempo que tardaría el fluido en fluir alrededor de un objeto, sobre el tiempo que tarda el objeto en moverse una distancia igual a su tamaño. Claramente, si esa relación es grande, esperamos que el fluido no se mueva en absoluto y sea barrido, mientras que si es baja, esperamos un flujo apreciable alrededor del material.

Pequeño apartado

De hecho, utilizando esta idea se puede "derivar" la ecuación normal de la fuerza de arrastre del aire. Podemos suponer, en el caso más sencillo, que una pelota que se desplaza por el aire simplemente choca con todas las moléculas de aire que tiene delante. Cada una de estas moléculas imparte un cambio de momento de $mv$ al objeto (donde $m$ es la masa de una molécula de aire). ¿Cuántas moléculas golpeamos? Bueno, si nos movemos durante un tiempo $\Delta t$ si nuestro objeto tiene una sección transversal de $A$ , barre un volumen de $A v \Delta t$ por lo que la masa de aire en ese volumen es $\rho A v \Delta t$ , por lo que el número de moléculas de aire es $\rho A v \Delta t / m$ . El cambio total de nuestro impulso es $$ \Delta p = ( \rho A v dt / m ) ( m v ) = 2 \rho A v^2 \Delta t $$ y sabemos que la fuerza es la tasa de cambio del momento $$ F = \frac{ \Delta p }{ \Delta t } = \rho A v^2 $$ que es correcto salvo un factor de 2 y un coeficiente de arrastre que por razones dimensionales debería depender únicamente de la característica de nuestro cuerpo (forma, superficie) y del número de Reynold.

Navier Stokes

También podemos ver la importancia del número de Reynold directamente en la ecuación de Navier Stokes. Si empezamos con la ecuación de Navier Stokes para el flujo incompresible: $$ \frac{\partial \vec v}{\partial t} + ( \vec v \cdot \nabla )\vec v = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec v, \qquad \nabla \cdot \vec v = 0 $$ y los adimensionamos eligiendo un tamaño característico $D$ y la velocidad $V$ se obtiene: $$ \frac{\partial \vec v}{\partial t} + ( \vec v \cdot \nabla) \vec v = - \nabla p + \frac{1}{\text{Re}} \nabla^2 \vec v, \qquad \nabla \cdot \vec v = 0$$ Aquí queda claro que el número de Reynold es sólo la importancia del $\nabla^2 v$ término en la ecuación. Es decir, si hay que considerar el laplaciano del campo de velocidad. Es decir, hasta qué punto el fluido intenta que sus velocidades en regiones cercanas sean coherentes. Si el número de Reynold es alto, este término desaparece, por lo que podemos tener cambios locales muy marcados en el campo de velocidad, es decir, un flujo turbulento.