¿La integral de Riemann surge una medida?

Question

¿Podemos nos acercamos a la integral de Riemann con la teoría de la medida?

Es decir: podemos encontrar una medida $\mu$ definido sobre un $\sigma$-álgebra de $\mathbb{R}$ tal que una función es $\mu$-integrable si y solamente si es Riemann integrable y la integral $\int f d\mu$ es igual a la integral de Riemann correspondiente. ¿Si es así podemos extender a esta incorrecta a Riemann integrales? ¿Qué integración Riemann en $\mathbb{R}^n$?

Answer 1

No.

Singletons tendría que ser medibles en esta $\sigma$-álgebra puesto que sus funciones características Riemann integrable, alternativamente ya $\{x\} = \bigcap_{n=1}^\infty \left[x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right]$ muestra que son una intersección contable de conjuntos medibles. Por lo tanto, la función característica de cada sistema contable tendría que ser Riemann integrable, pero $\chi_{[0,1] \cap \mathbb{Q}}$ proporciona un contraejemplo.