Calculer

Question

Inspirado por una pregunta que vi estos días, trato de calcular en forma cerrada

$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(x)\log{\sin{(x)}}}{x}\,dx$$

Hasta ahora ninguna idea fructífera que vale la pena compartir. ¿Qué propones? Nota que prefiero sugirieron maneras, no necesariamente soluciones, pero no tengo nada en contra de cualquiera de las opciones que prefiera.

Answer 1

Que no una forma cerrada, pero espero que puede ser útil. Utilizando %#% $ de #% tenemos $$\log\left(\sin\left(x\right)\right)=-\log\left(2\right)-\sum_{n\geq1}\frac{\cos\left(2nx\right)}{n}$ $ ahora usamos la identidad $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\left(x\right)\log\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}=-\log\left(2\right)\textrm{Si}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sum_{n\geq1}\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\left(x\right)\cos\left(2nx\right)}{x}dx.$ $ para obtener $$\sin\left(x\right)\cos\left(2nx\right)=\frac{1}{2}\left(\sin\left(x-2nx\right)+\sin\left(2nx+x\right)\right)$ $ ahora, tenemos que $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\left(x\right)\log\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}=-\log\left(2\right)\textrm{Si}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{2}\sum_{n\geq1}\frac{\textrm{Si}\left(\frac{\pi}{2}\left(2n+1\right)\right)-\textrm{Si}\left(\frac{\pi}{2}\left(2n-1\right)\right)}{n}.$ $ $$\frac{\textrm{Si}\left(\frac{\pi}{2}\left(2n+1\right)\right)-\textrm{Si}\left(\frac{\pi}{2}\left(2n-1\right)\right)}{n}=O\left(\frac{1}{\pi n^{2}}\right)$ así que tenemos la aproximación $n\rightarrow\infty$$$\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin\left(x\right)\log\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}\simeq-\log\left(2\right)\textrm{Si}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\zeta\left(2\right)}{2\pi}.$-1.05585_$ Note that numerically the integral is $%-1.21193... $