Para probar esto, voy a reformular el problema de la siguiente manera: Revisión de algunas constante $A>0$, y comenzar en un punto arbitrario $(x_0,y_0)$ en el cuadrante superior derecho $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ del entero de rejilla. Vamos a caminar a través de la celosía cuadrante de partida en $(x_0,y_0)$ tomando sólo válido pasos, donde un paso de $(\delta,\epsilon)$ $(x,y)$ $(x',y')=(x,y)+(\delta,\epsilon)$es válido iff $|\delta|=|x'-x|\le A$, $|\epsilon|=|y'-y|\le A$, y $|x'y'-xy|\le A$. Queremos mostrar que el pie debe tener delimitada $\min(x,y)$, es decir, debe permanecer dentro de algunos en forma de L región del cuadrante con la esquina de la L en el origen.
Si todos, pero un número finito de pasos de la caminata ha $\delta=\epsilon=0$, el paseo de visita solamente un número finito de puntos, así que esto es obviamente cierto. De lo contrario, podemos eliminar todos los pasos con $\delta=\epsilon=0$, lo que nos deja con una infinita a pie en el que cada paso $(\delta,\epsilon)$ es distinto de cero.
Definir una primitiva paso a ser un paso $(\delta,\epsilon)$, de modo que $\delta$ $\epsilon$ son relativamente primos, $0\le\delta\le A$, $|\epsilon|\le A$, y $\epsilon>0$ si $\delta=0$. Cualquier válido paso entonces es un múltiplo entero de algunas primitivas paso que representa su dirección, y el conjunto de primitivas de los pasos es
$
\{(1,0),(0,1)\}\la copa{\cal S}\cup {\cal S'},
$
donde $\cal S$ se compone de los primitivos pasos que están en la dirección del cuadrante IV,
$$
{\cal S}:=\{(\delta\epsilon)\mid \gcd(\delta\epsilon)=1,\ 1\le \delta \le\ - \le \epsilon\le -1\},
$$
y $\cal S'$ contiene primitivos pasos que están en la dirección del cuadrante I,
$$
{\cal S'}:=\{(\delta\epsilon)\mid \gcd(\delta\epsilon)=1,\ 1\le \delta \le\ 1\le \epsilon\le\}.
$$
Supongamos que tomamos una válida paso
de $(\eta \delta, \eta \epsilon)$ donde $\eta$ es un número entero distinto de cero y $(\delta,\epsilon)$ es primitivo. Entonces
$$|x y'-xy|=|(x+\eta\delta)(y+\eta\epsilon)-xy|=
|\eta(\delta y + \epsilon x) + \eta^2 \delta \epsilon|\le Un,$$
que, desde $\eta\ne 0$, $|\eta\delta|\le A$, y $|\eta\epsilon|\le A$, implica que
$$
-A-a^2\le \delta y + \epsilon x \le a + a^2.\qquad (1)
$$
Entonces, si $(\delta,\epsilon)$ está en $\cal S'$, $\delta$ y $\epsilon$ son positivos, por lo que
$x+y\le A+A^2$, e $(x,y)$ es en un triángulo rectángulo $\cal Q$ uno de cuyos vértices es el origen. De lo contrario, si $(\delta,\epsilon)\in\{(1,0),(0,1)\}\cup\cal S$, (1) implica que $(x,y)$ está dentro de una franja de $U_{\delta,\epsilon}$
de anchura finita alrededor de el rayo que pasa por el origen $$R_{\delta,\epsilon}:=\{(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mid x\epsilon+y\delta=0\}.$$
Ahora, si queremos eliminar una lo suficientemente grande en forma de L de la región de ${\cal R}:=\{(x,y)\mid \min(x,y)\le N\}$$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, vamos a encontrar que (1) $\cal R$ contiene $\cal Q$, $U_{0,1}$ y $U_{1,0}$, y (2) que fuera de esta región, los diferentes rayos de $R_{\delta,\epsilon}$ estarán separados por una distancia suficientemente grande de modo que no habrá ningún punto de intersección entre diferentes $U_{\delta,\epsilon}$'s. Fuera de $\cal R$, la validez de los pasos en cada una de las $U_{\delta,\epsilon}$ entonces sólo aquellos que son múltiplos de la primitiva paso $(\delta,\epsilon)$. Este paso no es en la misma dirección como $R_{\delta,\epsilon}$, que está en la dirección de $(\delta,-\epsilon)$, por lo tanto, si el paseo se llega a un punto de $(x_1,y_1)$ $U_{\delta,\epsilon}$ fuera de $\cal R$, y no entrar a $\cal R$, sólo puede ir hacia atrás y adelante a lo largo del segmento finito $S_{x_1,y_1,\delta,\epsilon}$ $U_{\delta,\epsilon}$ que va a través de $(x_1,y_1)$ y en el sentido de $(\delta,\epsilon)$.
Para finalizar el argumento, agrandar $\cal R$ a un grande en forma de L de la región de ${\cal R'}:=\{(x,y)\mid \min(x,y)\le N'\}$, de modo que, si $(x,y)\in U_{\delta,\epsilon}\setminus {\cal R'}$, $S_{x,y,\delta,\epsilon}$ no se cruzan $\cal R$. Entonces, si el pie está siempre en un punto de $(x_1,y_1)$ fuera de $\cal R'$ y hace un válido paso, debe ser un múltiplo de algunas primitivas de paso de $(\delta,\epsilon)\in{\cal S}$. Esto significa que $(x_1,y_1)$ debe ser en $U_{\delta,\epsilon}$, lo que, por el razonamiento del último párrafo, se entenderá que el paseo será para siempre confinado en el segmento de $S_{x_1,y_1,\delta,\epsilon}$. Dado que este es un segmento de longitud finita, $\min(x,y)$ entonces es acotada. Por otro lado, si el pie no deja nunca $\cal R'$, $\min(x,y)$ siempre está delimitada por $N'$. Esto completa la prueba.
Para una ilustración de las diferentes regiones implicadas, ver la foto de abajo. Muestra $\cal Q$, $\cal R$, $\cal R'$, $U_{0,1}$, y $U_{1,0}$, junto con $R_{\delta,\epsilon}$, $U_{\delta,\epsilon}$, y uno de los $S_{x,y,\delta,\epsilon}$ por dos representante de los primitivos pasos $(\delta,\epsilon)\in {\cal S}$, es decir, $(\delta,\epsilon)=(2,-1)$ y $(\delta,\epsilon)=(1,-3)$. $U_{0,1}$ es de color amarillo; $U_{1,0}$ es azul; $U_{1,-3}$ (no etiquetado) tiene un color rojizo; y $U_{2,-1}$ (también no etiquetados) es de color verde. La intersección de estos conjuntos de colores han sido representados mediante puntos de colores.
![enter image description here]()
Anexo: Aquí es otro ejemplo. Fue creado tomando el máximo tamaño de paso, $A$, a 3, y la restricción de la caminata a la región de $[0,40]\times [0,40]$. La posible validez pasos que se muestran como líneas, y cada componente de celosía puntos accesibles por el walker se dibuja en una forma diferente, al azar, de color. En este caso, el conjunto $\cal S$ se compone de los siete pisar las direcciones $(\delta,\epsilon)=(3,-1)$, $(2,-1)$, $(3,-2)$, $(1,-1)$, $(2,-3)$, $(1,-2)$, y $(1,-3)$, correspondiente a los rayos $R_{\delta,\epsilon}$ $x=3y$, $x=2y$, $2x=3y$, $x=y$, $3x=2y$, $y=2x$, y $y=3x$. Como puede verse en la imagen, lejos de una forma de L región próxima al origen, cada uno de escalonamiento de la dirección sólo es válida en una franja alrededor de su rayo correspondiente.
![enter image description here]()
