¿Cómo distinguir entre preguntas de combinación y de permutación?

Question

¿Cómo se distingue la pregunta de combinación y de permutación?

Un ejemplo de pregunta combinada:

Ejemplo: ¿Cuántos comités diferentes de 4 estudiantes se pueden elegir de un grupo de 15?

Respuesta: Existen posibles combinaciones de 4 alumnos de un conjunto de 15.

Hay 1365 comités diferentes.

Un ejemplo de pregunta de permutación:

Ejemplo: ¿De cuántas maneras pueden alinearse 4 estudiantes de un grupo de 15 para una fotografía?

Respuesta: Hay 15P4 permutaciones posibles de 4 estudiantes de un grupo de 15. Se trata de alineaciones diferentes.

Cómo saber en qué caso utilizar $nCm$ y en el que $nPm$ ?

Answer 1

Ejemplo: ¿Cuántos comités diferentes de 4 estudiantes se pueden elegir de un grupo de 15? Respuesta: Hay posibles combinaciones de 4 estudiantes de un conjunto de 15.

En tu primer ejemplo estás eligiendo ranuras para que cada estudiante las ocupe, pero no te importa el orden que los estudiantes hacen en cada ranura. Usted sólo atención sobre la combinación.

Ejemplo: ¿De cuántas maneras pueden alinearse 4 estudiantes de un grupo de 15 para una fotografía? Respuesta: Hay 15P4 permutaciones posibles de 4 estudiantes de un grupo de 15.

En las permutaciones, el orden de los objetos es importante. Si los objetos son indistintos, se trata de un problema de combinaciones.

En su segundo ejemplo, usted puede distinguir a un estudiante de otro; por lo tanto, es un problema de permutaciones, por lo que cambiar el orden de los estudiantes en la fila afectará a la forma en que la fotografía mira .

Para distinguir la diferencia hay que mirar el "objeto" en cuestión y preguntarse si se puede distinguir o no en el contexto de la pregunta.

Answer 2

${}_nC_r$ es el número de formas de seleccionar $r$ elementos de un conjunto de $n$ artículos.

${}_nP_r$ es el número de formas de seleccionar $r$ elementos de un conjunto de $n$ artículos y la organización de la $r$ elementos seleccionados en todos los órdenes posibles.

En resumen, las combinaciones se utilizan cuando sólo se selecciona; las permutaciones se utilizan cuando se selecciona y ordena.

A menudo se dice que las combinaciones se utilizan cuando el orden no importa y que las permutaciones se utilizan cuando el orden sí importa, pero esto puede ser engañoso. Por "el orden importa", la gente probablemente quiere decir que los diferentes órdenes son distinguibles, lo cual es importante, pero no es la única cuestión. La otra cuestión importante es si se permiten todos los órdenes posibles.

Si, al seleccionar $r$ artículos de $n$ Si se distinguen diferentes órdenes y se permiten todos los órdenes posibles, entonces ${}_nP_r$ es apropiado. Si, al seleccionar $r$ artículos de $n$ o bien no se pueden distinguir diferentes órdenes o sólo se permite un orden, entonces ${}_nC_r$ sería apropiado.

He aquí algunos ejemplos.

1. ¿De cuántas formas pueden alinearse 4 alumnos de un grupo de 15 para una fotografía? Respuesta: para encontrar todas las alineaciones posibles, hay que encontrar todas las selecciones posibles, y para cada selección, hay que encontrar todas las formas posibles de alinear a los estudiantes seleccionados. Se pueden distinguir diferentes alineaciones y pueden darse todas las alineaciones posibles. Por lo tanto, hay ${}_{15}P_4$ Alineaciones.
2. ¿De cuántas maneras se pueden alinear 4 estudiantes de un grupo de 15 para una fotografía en orden por edad, con el mayor a la izquierda y el menor a la derecha? Respuesta: para encontrar todas las alineaciones posibles, hay que encontrar todas las selecciones posibles. Se pueden distinguir diferentes alineaciones, pero sólo se permite una alineación. Una vez que se determina la selección, la alineación es forzada, ya que es según la edad. Por lo tanto, hay ${}_{15}C_4$ Alineaciones.
3. ¿Cuántos comités diferentes de cuatro estudiantes se pueden elegir de un grupo de 15? Respuesta: los comités se definen únicamente por su composición, por lo que no se pueden distinguir los distintos órdenes de los miembros del comité seleccionados. Por lo tanto, hay ${}_{15}C_4$ comités.
4. Hay tres fichas de Scrabble E y cuatro fichas de Scrabble S. ¿De cuántas maneras se pueden colocar todas las fichas una al lado de la otra a lo largo de una línea recta? Respuesta: las fichas físicas se pueden distinguir, por lo que se pueden distinguir diferentes colocaciones de las mismas. Además, todas las colocaciones posibles son posibles. Por lo tanto, hay ${}_7P_7=7!$ colocaciones.
5. ¿Cuántas "palabras" diferentes se pueden deletrear utilizando la letra E tres veces y la letra S cuatro veces, donde cualquier secuencia de letras cuenta como una palabra? Respuesta: una palabra se distingue por la secuencia de letras, es decir, el orden, pero no está ligada a la colocación de ningún artefacto físico. Se pueden distinguir diferentes secuencias de eses y eses, pero el resultado de permutar sólo las eses o sólo las eses en una secuencia concreta no da un resultado distinguible. Por tanto, no se pueden distinguir diferentes órdenes dentro de la subsecuencia de Es o dentro de la subsecuencia de Ss. Por lo tanto, hay $$\frac{{}_7P_7}{{}_3P_3\,{}_4P_4}=\frac{7!}{3!\,4!}$$ palabras. Esta respuesta equivale a ${}_7C_4$ que puede entenderse de la siguiente manera: para especificar una palabra, sólo hay que indicar qué posiciones de cuatro letras entre las 7 contienen Ss, entendiendo que cualquier otra posición contiene una E. Un conjunto de posiciones de cuatro letras se distingue sólo por sus elementos, y no por el orden en que se enumeran. Así, tener Ss en las posiciones 2, 3, 5 y 7 es indistinto de tener Ss en las posiciones 5, 3, 7 y 2. En otras palabras, no se distinguen los diferentes órdenes de las cuatro posiciones de S. Por lo tanto, hay ${}_7C_4$ palabras.

Answer 3

En general, siempre que la posición importa, la pregunta es una pregunta de permutación. Por ejemplo, cuando (A,B) y (B,A) son diferentes, se trata de una pregunta de permutación.

Y siempre que la posición no importe, se trata de una pregunta combinada. Por ejemplo (A,B) es lo mismo que (B,A).

Ejemplo :

1) ¿De cuántas formas podemos seleccionar a 2 alumnos de entre tres alumnos A,B,C?

Respuesta = $^3C_2 = \frac{3!}{2!\times(3-2)!} = 3$

Se trata de una pregunta combinada, ya que podemos seleccionar de tres maneras, como se indica a continuación: (A,B) , (B,C) , (C,A). Ver aquí, cuando se selecciona (A,B) , es lo mismo que (B,A).

2) ¿De cuántas formas se pueden alinear 2 alumnos en una fila, de un total de 3 alumnos A,B,C ?

Respuesta = $^3 P_2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 6$

Esta es una pregunta de permutación porque hay seis formas como sigue: (A,B) , (B,A) , (B,C) , (C,B) , (A,C) , (C,A). Nótese que ahora (A,B) y (B,A) son diferentes, ya que en (A,B) , A obtiene la primera posición de la fila y B la segunda. Mientras que en (B,A), B obtiene la primera posición de la fila y A la segunda. Por lo tanto, tenemos que contarlas como posibilidades separadas, a diferencia del ejemplo anterior.

Answer 4

Las permutaciones se utilizan cuando el orden es importante.

Las combinaciones se utilizan cuando el orden no importa.

Answer 5

He aquí otra interpretación de la diferencia entre combinaciones (elección) y permutaciones (arreglos):

Supongamos que se le pide que organice $3$ libros de $5$ diferentes libros en una línea:

Así que primero $\color{red}{\mathrm{choose}}$ $3$ libros de los posibles $5$ y entonces usted $\color{blue}{\mathrm{arrange}}$ de ellos.

Por lo tanto, la distinción es la siguiente:

A Permutation es elegir los objetos y entonces arreglarlas.

A Combination es elegir los objetos y no arreglarlas.