La aritmética de los irracionales y el vedanta que la sustenta..

Question

Tengo mucha curiosidad por el vedanta que hay detrás de las operaciones aritméticas con números irracionales. Todavía se agrava después de las productivas discusiones con mi amigo. Así que decidí preguntar aquí. Básicamente hay una confusión con algunos 4 operadores.

1. Permítanme comenzar con $+$ operador. No hay confusión. Supongamos que el operador " $+$ " en $\sqrt{3} +\sqrt{2}$ sólo hay que sumar la parte decimal de ambos números. Es como sumar $ 1+0.73205... + 1 +0.41421... $ . Así que tiene sentido cuando los sumamos linealmente .
2. El problema surge con la multiplicación. ¿Puede alguien explicar cómo es $\sqrt{3}*\sqrt{3} = 3$ ?. ¿Cómo puede un producto de dos números irracionales convertirse en un número racional? Es como $1.73205.....*1.73205.....$ por lo que el operador de multiplicación sólo multiplica la parte decimal también. Debe dar lugar a la parte decimal infinita en la salida también. Pero a la inversa estamos obteniendo un número racional ( específicamente un entero ) $3$ . ¿Cómo se puede dar sentido a esta contradicción? .
3. Del mismo modo, al llegar a la División surge el mismo problema. Pero una vez que tenemos bien definida la multiplicación, la división puede tener algún sentido porque siempre podemos racionalizar el numerador y el denominador. Así que el problema es sólo encontrar la explicación detrás de la multiplicación.
4. De la misma manera, ¿qué pasa con los exponentes? ¿Incrementar un número irracional a la potencia de otro número irracional? Por ejemplo, tomemos $\sqrt{3}^{\sqrt{2}}$ . ¿Cómo se puede elevar el número irracional que tiene una precisión infinita a otro número que tiene una precisión infinita? .

Gracias. A la espera de sus respuestas.

Answer 1

Digamos que se multiplican dos números $a * b$ . Este producto tendrá la representación de dígitos $c.c_1c_2c_3....$ . Hay infinitos dígitos en este producto.

Ahora, cuando empiezas a multiplicar muchos números al azar, $c_1$ puede ser cualquiera de los dígitos, por lo que puede ser $c_2$ y $c_3$ y así sucesivamente....

Significa que en algún momento, $c_1=0$ y que a veces también se obtiene $c_2=0$ y que a veces también se obtiene $c_3=0$ y así sucesivamente....

Básicamente, en muy pocas ocasiones ocurrirá que todos los $c_i$ dígitos será cero, y entonces su producto es un número entero.

Básicamente

$$1.7320508..... \times 1.7320508.... = 3.0000.....$$ por lo que seguimos obteniendo infinitos dígitos, sólo que no los escribimos ya que son 0.

Answer 2

$1.732 \times 1.732 = 2.999824$

$1.73205 \times 1.73205 = 2.9999972025$

$1.7320508 \times 1.7320508 = 2.99999997378064$

$...$

El truncamiento de la expansión decimal de $\sqrt{3}$ a $n$ dígitos decimales es, de hecho, el mayor número $x$ con $n$ dígitos decimales tales que $x^2 \le 3$ . A medida que se toman más y más dígitos, el cuadrado se acerca más y más a $3$ . Y así el límite de estas aproximaciones decimales, que es $\sqrt{3}$ , satisface $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ .

Answer 3

Si no te molesta que $${3\over7}\times{7\over3}=.428571...\times2.333...=1$$ el producto de dos decimales no terminados da un número entero, entonces no debería molestarte si los decimales no terminados resultan ser irracionales.

Answer 4

Me desconcierta un poco que parezcas totalmente feliz con la suma de dos irracionales, pero no con la multiplicación.

Si toma $a = \sqrt{2} = 1.4142135...$ y $b = 2-\sqrt{2} = 0.5857864...$ y luego sumarlos dígito a dígito siempre va a dar algo como $0.999...$ Y yo habría pensado que eso sería tan objetable como el tipo similar de decimal infinito al multiplicar?

Answer 5

Para responder a tu pregunta, primero tienes que entender qué es un número real y qué significa exactamente multiplicar dos números reales. Todo número real puede considerarse como un clase de equivalencia de la secuencia de cauchy de los números ratonales . Por ejemplo, $\sqrt 3$ puede considerarse como la siguiente secuencia de cauchy de números racionales

$$1, \frac{17}{10}, \frac{173}{100}, \frac{1732}{1000}, \frac{173205}{100000} \ldots$$

Del mismo modo, el número racional $3$ puede pensar en la secuencia de Cauchy $3,3,3, \ldots$ Lo mismo puede hacerse con cualquier otro número racional. Ahora bien, dos secuencias de Cauchy diferentes pueden representar el mismo número real, por eso cada número real debe pensarse como una clase de equivalencia de la secuencia de Cauchy del número racional, y la secuencia de Cauchy del elemento que pertenece a esa clase de equivalencia puede usarse para representar ese número real. Por ejemplo, el número racional $3$ también puede ser considerada como la secuencia de Cauchy $\{3+ \frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}$ . De hecho, cualquier secuencia de números racionales que convergen a $3$ puede utilizarse para representar $3$ Ahora, es el momento de algunas definiciones formales.

Una secuencia de Cauchy es una secuencia $x_1,x_2,x_3,...$ de números racionales tal que para cada racional $\epsilon > 0$ existe un número entero $N$ tal que para todos los números naturales $m,n > N, |x_m-x_n|<\epsilon$ .

Dos secuencias de Cauchy $(a_n)$ y $(b_n)$ son equivalente si la secuencia de Cauchy $(a_n-b_n)$ tiene el límite cero. Comprueba que esta relación es efectivamente una relación de euivalencia. El conjunto $\mathbb R$ es entonces el conjunto de clases de equivalencia de $R$ bajo esta relación.

Ahora, podemos definir la operación binaria multiplicación en $\mathbb R$ .Let $(a_n)$ y $(b_n)$ sean dos secuencias de Cauchy , $(a_n) \times (b_n)$ es la secuencia de Cauchy $(a_n \times b_n)$ . Sea $a=[(a_n)],b=[(b_n)] \in \mathbb R$ , $a \times b = [(a_n \times b_n)]$ .aquí $[(a_n)]$ denota la clase de equivalencia que contiene $(a_n)$ . Hay que comprobar que la operación multiplicación nf las clases de equivalencia es independiente del representativo que utilicemos para denotar la clase de equivalencia.

Ahora estamos preparados para responder a su primera pregunta. $x=[(1, \frac{17}{10}, \frac{173}{100}, \frac{1732}{1000}, \frac{173205}{100000} \ldots)]$ . Así que $x^2=[(1,\frac{289}{100},\frac{173}{100},\frac{29929}{10000}, \ldots)]$ . Pero $(1,\frac{289}{100},\frac{173}{100},\frac{29929}{10000}, \ldots)$ converge a $3$ . Así que, $3=[(3,3,3,3, \ldots)]=[(1,\frac{289}{100},\frac{173}{100},\frac{29929}{10000}, \ldots)]=x^2$ . Así que, $x=\sqrt 3$ .