¿Es la cohomología de un operad topológica un cooperad?

Question

Para cohomology con coeficientes en un campo de $F$ el mapa de $H^\cdot(X;F) \otimes H^\cdot(Y;F) \to H^\cdot(X \times Y;F)$ de la Kunneth teorema es un isomorfismo de álgebras de más de $F$. Estoy en lo correcto al pensar que este junto con el hecho de que cohomology con un functor contravariante, implica que el cohomology de topológico, operad es un cooperad, el doble de una noción de cooperad?

Si esto no es cierto, ¿de dónde viene mi razonamiento no? Lo hace, al menos, mantener el nivel de vectorspaces $F$? Si esto es cierto, ¿por qué no hay muchas referencias sobre esta construcción? Parece que el adicional de álgebra estructura podría dar alguna información adicional.

Además, el uso de la Thom isomorfismo para la cohomology, ¿esto también implica que existe una noción de cadena de cohomology de doble cadena de topología?

Answer 1

Sí, el cohomology de un operad sobre un campo es un cooperad . De hecho, sobre un campo F, el cohomology functor H^* es un monoidal functor (en un contravariante sentido). Más precisamente, la categoría de espacios topológicos Superior equipadas con el producto cartesiano x es un monoidal simétrica categoría (la unidad es el único punto del espacio *). Del mismo modo la categoría de clasificados espacios vectoriales es monoidal simétrica cuando está equipado con el producto tensor ⊗ (la unidad que es el campo de tierra concentrada en el grado 0 que denotamos por F). Luego Kunneth teorema dice que tiene un mapa H^∗(X)⊗ H^∗(X) --> H^∗(XxY), y además es un isomorfismo. También H^∗(∗) es isomorfo al campo F. Este es exactamente el significado de su functor ser monoidal (que aquí como para ser interpretada en un contravariante sentido). En otras palabras, su functor desplazamientos, hasta canónica isomorphisms, con los dos monoidal estructuras × y ⊗.

Una consecuencia de este supongamos dado un topológico operad, que es una secuencia X(n))_n≥0 de espacios junto con la estructura de los mapas μ:X(k)xX(n1)x...xX(nk) --> X(n1+...+nk) que satisface la condición de asociatividad para un operad (y también una unidad perteneciente a X(1) y algunos compatible con la acción de los grupos simétricos). Entonces, aplicando la monoidal functor H^∗ obtener una cooperad (H^∗X(n))_n≥0 en la categoría de clasificados espacios vectoriales. De hecho, componer H^∗(m) con el Kunneth isomorfismo obtener un mapa
H(X(n1+...+nk)) --> H(X(k)xX(n1)x...xX(nk)) ≅ H(X(k))⊗H(X(n1))⊗...⊗H(X(nk))
la satisfacción de las coassociativity condición de un cooperad (también con un counit y Σ-equivariance.)

También puede intentar hacer lo mismo en el nivel de (co)de las cadenas. Sin embargo, el cochain functor no es monoidal (que es débilmente "comonoidal"). Por lo que no es cierto que el cochains de un operad es un auténtico cooperad (aunque es amost un cooperad). Pero el functor de singular cadenas es monoidal y así es cierto que las cadenas de un topolgical operad es un operad de los complejos de la cadena.

Tal vez es debido a esta falta de una verdadera estructura en la cochain nivel que uno no consideran a menudo la cooperad estructura en la cohomology. De todos modos no iba a dar más estructura que la homología y a menudo es más fácil trabajar con este.

La razón por la cual este no se encuentra en la literatura es que es el folclore que un monoidal covariante/functor contravariante se convierte operad en operads/cooperads.

Answer 2

Hay una pequeña ADVERTENCIA, sin embargo: usted necesita ya sea para asumir sus espacios en el operad son de tipo finito, o trabajan en la categoría de espacios topológicos del vector y tensor completo. La razón es que el teorema de Künneth en cohomología sólo aplica para espacios de tipo finito Si utilizas el producto del tensor regular. Considerar, para un contraejemplo, una cuña infinita de esferas.