Nots fibrados (extensiones HNN no geométrica de grupos libres generados normalmente por el monodromy)

Question

Un fibrado nudo es un nudo $K$ $3$- esfera cuyo complemento es un paquete de la superficie sobre un círculo. Si $S$ es la fibra, el grupo fundamental de la $S$ es gratis (de las bases), y el grupo fundamental del complemento es un HNN extensión $$\pi_1(S) \to \pi_1(S^3-K) \to Z$$ donde el $Z$ es generado por el meridiano del nudo.

Dado que la cirugía en $K$ recupera el $3$-esfera, el grupo $\pi_1(S^3-K)$ tiene la interesante propiedad de que es normalmente generada por el (la clase conjugacy de) el meridiano.

Lo que no sabía hasta hace poco es que hay muchos ejemplos de "no-geométrico" automorfismos $\phi$ libre de grupos de $F$ para que el asociado HNN extensión de $F \to G \to Z$ es normalmente generada por la clase conjugacy de la monodromy. Un simple ejemplo es el caso de la $F = \langle a,b,c \rangle$ $\phi$ es el automorphism $a \to c^{-1}abac, b \to bac, c\to bc$.

Es allí cualquier manera sistemática de la generación de estos ejemplos? Existe una clasificación? Una razón para estar interesado es que estos ejemplos pueden ser utilizados para construir liso $4$-colectores que son topológicamente $S^4$, pero, obviamente, no diffeomorphically $S^4$.

Edit: un enlace a la construcción es http://lamington.wordpress.com/2009/11/09/4-spheres-from-fibered-knots/ (esto explica la construcción en el caso de un fibrado nudo, pero el grupo de la teoría de la condición es el único ingrediente importante).

Answer 1

Esta pregunta parece ser interesante incluso para el rango 2 gratis grupo. En este caso, es bien conocido (desde el colector es conservada hasta conjugacy y a la inversa) que el exterior de automorfismos son el mismo como la clase de asignación de grupo de un 2-perforado toro. Los únicos candidatos posibles para el exterior de automorfismos la satisfacción de su condición se determinó homologically como la homología de los círculos, y se corresponden con el trébol y figura de ocho nudo complementa. Pero de los automorfismos, correspondiente a aquellos exterior autmorphisms, no estoy seguro de que cumplan su condición. Creo que esto equivale a pedir que las curvas de la figura 8 y nudo de trébol complementa generan normalmente el grupo fundamental. Si uno considera que las curvas periféricas, entonces este es contestada por el nudo complementar problema (creo que la atribución de esta para la figura 8 nudo es Thurston, quien clasifica el Dehn rellenos en la figura 8 - no sé quien originalmente se hizo para el trébol).

Otro obervation es que si una curva normalmente genera, entonces hay un número finito de conjugados que generan el grupo fundamental. Jason Callahan ha descartado el caso de un no-periférica de la curva en la figura 8 nudo complementar la que dos conjugados generar el grupo fundamental. Probablemente hay algunos otros 3-colector de maquinaria que puede ser ejercida sobre esta cuestión en el rango de 2 de caso.