Cómo llegar a identidad radical Ramanujan anidado

Question

Me he topado con un curioso Ramanujan identidad $$\sqrt[6]{7 \sqrt[3]{20} - 19} = \sqrt[3]{\frac{5}{3}} - \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$ $

Probablemente podría probar esto por tomar el poder el 6 de ambos lados. Pero ¿cómo podría él han llegado a este resultado limpio sin términos adicionales sobrados? ¡Estoy abrumado al tratar de imaginar cómo se haría.

Edición: También, ¿cómo sería usted generalizar identidades que implican una raíz 6 como dos raíces 3 º?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Multiplicando por $\,\sqrt[3]{12}\,$ el lado derecho se convierte en $\, \sqrt[3]{20}- 2,\,$ y

$$(\sqrt[3]{20}- 2)^6\, =\, 144\, (7 \sqrt[3]{20} -19)$$

Uno puede demostrar por la teoría de Galois de una estructura teorema que esencialmente implica que todos los radicales denestings puede asimismo ser "normalizado" a un "trivial" el almacenaje. Esto forma la base para los algoritmos eficaces para el cálculo de dicho denestings. Ver mi post aquí y aquí por mucho más, incluyendo ejemplos y referencias bibliográficas.