Puntos fijos de la Función Gamma?

Question

Estoy interesado en el complejo de los valores de $z$ tal que $$\Gamma (z) =z$$ Clearly, the one trivial value of $z$ es 1. También, mirando un gráfico de la función gamma en el eje real, puedo decir que hay una infinita cantidad de negativos soluciones reales y ( creo) dos reales positivos soluciones. Para otros valores complejos estoy atrapado en el momento.

Answer 1

Aquí una imagen de la función $\Gamma(z)-z$$\Re z,\Im z\in[-10,10]$. Los puntos negros son los ceros de la función, que corresponden a la fixpoints de $\Gamma(z)$. El punto en el centro es $z=1$, y el más grande de la derecha es $z=3.56$ identificados en los comentarios. Hay un número infinito de casi uniformemente espaciados raíces en la izquierda, cerca de los polos, pero desde $\Gamma(z)\to 0$ muy rápidamente, las $-z$ comportamiento de la lava de los polos y de pronto llegan a ser demasiado pequeño para ser detectado por el grapher.

                              

Las raíces, entonces, pueden ser clasificados como los puntos especiales $z=1$, $z=-0.789\pm0.651i$, una raíz real cerca de cada uno de los postes en los enteros negativos, $n\le-2$ (no hay cruces en la región $(-1,0)$ debido a que la función es demasiado grande por ese punto), y una línea de ceros a lo largo de una curva vertical con el $z=3.56$ solución en el centro.

La curva que muestra aquí es $|\Gamma(z)|=|z|$. Por supuesto, cada punto fijo es en esta curva, pero la curva viene en varios componentes conectados - una línea larga con las raíces imaginarias, un ciclo que contiene los dos excepcional de raíces imaginarias, $z=1$ y el cero cerca de $z=-2$, y un pequeño círculo alrededor de cada polo en los negativos números enteros a partir de $-3$. No sé si hay una forma cerrada para la ecuación de la curva de raíces imaginarias tal que $|\Gamma(f(y)+iy)|=|f(y)+iy|$, pero lo dudo.

No creo que hay alguna de las ecuaciones que se había aquí, de modo numérico exploraciones de este tipo son los mejores se los puedo dar.