El cálculo de $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{ \sqrt[n]{n} - 1 }$

Question

Sé que

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \sqrt[n]{n} - 1 } = 1,$$

pero soy incapaz de demostrarlo. Fácilmente se podría estimar que en la mayoría de los $1$, pero mi mejor estimación desde abajo, es que el límite es mayor que $0$.

Haciendo esto desde la definición no me llevan a cualquier parte.

Answer 1

Los números de $n^{k/n}$ $0\leq k\leq n-1$ entre $1$$n$. La fórmula para la suma de la serie geométrica finita de ello se sigue que $$n\leq\sum_{k=0}^{n-1} n^{k/n}={n-1\over n^{1/n}-1}\leq n^2\qquad(n\geq2)\ .$$ De esto podemos inferir $${1\over 2n}<{n-1\over n^2}\leq n^{1/n}-1\leq{n-1\over n}<1\ .$$ El uso de $\lim_{n\to\infty} (2n)^{1/n}=1$ y el teorema del encaje a uno, entonces se concluye que el $$\lim_{n\to\infty}\bigl(n^{1/n}-1)^{1/n}=1\ .$$

Answer 2

Desde que se derivan de cosas como $f(x)^{g(x)}$ es una pesadilla (al menos para mí), siempre tratamos de aplicar el logaritmo en estos casos, y ver si usted puede venir para arriba con algo más fácil.

$$\lim_{n \to \infty} (n^{\frac{1}{n}} -1)^{\frac{1}{n}}$$

$$\lim_{n \to \infty} \log(n^{\frac{1}{n}} -1)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\log (n^{\frac{1}{n}} -1)}{n}$$ $$ = \lim_{n\to \infty} \frac{\log (n^{\frac{1}{n}} -1)}{n}$$

Ahora ya $\log (n^{\frac{1}{n}} -1) \leq (n^{\frac{1}{n}} -1) \leq n^{\frac{1}{n}}$ tenemos $$\lim_{n\to \infty} \frac{\log (n^{\frac{1}{n}} -1)}{n} \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{n-1}{n}}} = 0$$

Lo que significa que el límite anterior es $1$, ya que el $\log(1)=0$.

Answer 3

El término es limitado

$$\left (e^{\log{n}/n}-1 \right )^{1/n} = \left (\frac{\log{n}}{n} + \cdots\right )^{1/n}$$

Así que considere

$$\lim_{n \to \infty}\frac1n \log{\left (\frac{\log{n}}{n} \right )} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\log{n}} \frac{1-\log{n}}{n^2} = 0$$

por L'Hôpital. Este es el registro de el límite. El límite que nosotros buscamos es, por tanto,$1$.

Answer 4

El uso de $ \displaystyle 1+\frac1n \lt \sqrt[n]{n} \lt 1+\sqrt{\frac1n} $ $n \ge 3$ e lo $ \displaystyle \frac{1}{ 1+\sqrt{\frac1n}} \lt \sqrt[n]{\frac1n} \lt \frac{1}{ 1+{\frac1n}}$

da $ \displaystyle \frac1n \lt \sqrt[n]{n}-1 \lt \sqrt{\frac1n} $

por lo $ \displaystyle \frac{1}{ 1+\sqrt{\frac1n}} \lt \sqrt[n]{{\frac1n}} \lt \sqrt[n]{\sqrt[n]{n}-1} \lt \sqrt[n]{\sqrt{\frac1n}} \lt \sqrt{\frac{1}{ 1+{\frac1n}}}$

con la izquierda y a la derecha las expresiones de cada uno de converger hacia $1 $ $n$ aumenta

Answer 5

Idea: extender $\Bbb R$, tome $\log$: $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\log(x^{1/x}-1)}x$$ y el uso de L'Hôpital.