Buenas propiedades de débilmente desplazamientos de las matrices?

Question

Deje $A$ $B$ $n\times n$ matrices de más de $\mathbb{C}$. Si $AB=BA$, sabemos que podemos, al mismo tiempo diagonalize $A$ $B$ (o hacerlos de la forma canónica de Jordan). Lo que si están débilmente conmutativa en el sentido de que $AB=cBA$ algunos $c\in \mathbb{C}^{\times}$? ¿Qué podemos decir acerca de $A$$B$?

Siento ser un poco vago, pero me topé con este tipo de matrices en mi pequeño proyecto y me pregunto ¿qué nos puede decir acerca de ellos.

Answer 1

Yo no creo que se pueda decir mucho. Mira el siguiente ejemplo:

Deje $\lambda\in\mathbb C$ $n^{\rm th}$ raíz de la unidad (es decir $\lambda=e^{2\pi i/n}$). Poner $$ A=\begin{bmatrix}1\\ &\lambda \\ & & \ddots \\ & & &\lambda^{n-1}\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix} 0& 1& 0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots \\1&0&0&\cdots&0\end{bmatrix} $$ A continuación, tanto en $A,B$ tiene autovalores $1,\lambda,\lambda^2,\ldots,\lambda^{n-1}$. Ambos son normales (que son unitaries) por lo que son diagonalizable, y $AB=\lambda BA$.

Pero $e_1,\ldots,e_n$ (la base canónica) es una base de vectores propios de a $A$, mientras que $$ \{(1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}):\ \alpha=\lambda^k\ k=0,\ldots,n-1\} $$ is a basis of eigenvectors for $B$. As the vectors of either basis fails to be eigenvectors for the other matrix, we conclude that $a,B$ no son simultáneamente diagonalizable.

Tenga en cuenta también que la condición de $AB=cBA$$c\ne1$, impone una fuerte restricción en lo que los autovalores de a$AB$. Debido a que los autovalores de a $AB$ son los mismos que los de $BA$; pero aquí $AB=cBA$, por lo que llegamos a la conclusión de que $BA$ $cBA$ tienen los mismos autovalores. Esto a su vez significa que los autovalores de a $BA$ son de la forma $c^k\alpha$, $k=0,\ldots,n-1$ y algunos $\alpha\in\mathbb C$. Esto obliga a las cosas como si cualquiera de $A,B$ es singular, entonces $BA$ (y por lo tanto $AB$) tendrá todos los autovalores iguales a cero.