$\newcommand{\Ga}{\Gamma}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\til}{\tilde}$ $\newcommand{\M}{M}$ $\newcommand{\ep}{\epsilon}$ $\newcommand{\brk}[1]{\left(#1\right)} $ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\renewcommand{\pd}[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}$
Deje $M$ ser un suave colector, $X \in \Ga(TM) $. Suponga $X$ es completa, yo.e, el flujo de $X$ está definida sobre el conjunto de la $\mathbb{R} \times M$.
Me pregunto ¿qué sucede con el flujo al $X$ se multiplica por algunos de los verdaderos positivos función de $f \in C^{\infty}(M)$. Mi conjetura es que el flujo todavía será definido por el tiempo, y que va a ser un reparametrization de flujo original. (me.e sólo la velocidad puede cambiar). En particular, $fX$ será completa.
Pregunta: Es esta conjetura correcta? Es para no-compacto colectores? (Nota supongo que de todos modos $X$ es completa)
Actualización: Como se muestra por Travis, al $M$ es no compacta, de la escala de campo no necesita ser completa. Por supuesto, cuando se $M$ es compacto, de cualquier campo vectorial es completa.
Para el caso compacto, todavía estoy interesado en saber si hay un mundial cambiante reparametrization $h:\mathbb{R} \times M \to \mathbb{R} $ tal que $\psi(t,p)=\phi(h(t,p),p) \forall t \in \mathbb{R} , p \in M$?
Mi análisis (abajo) muestra que si existe una reparametrization que es único (ya que es suficiente para probar la unicidad local), pero no sé cómo mostrar existe un global $h$.
(Véase mi análisis para los detalles acerca de donde mi "procedimiento" se queda atascado).
Mi análisis hasta el momento:
Deje $\phi_p(t)=\phi(t,p)$ el valor del $t$-tiempo de flujo de $X$$p \in M$, yo.e
$(1)\,\, \phi: \R \times M \to M \, , \, \dot \phi_p(t)=X(\phi_p(t))$
Tome $Y = fX$. Indicar el flujo de $Y$$\psi_p(t)$. Suponga que existe una función real $h_p:\R \to \R$ tal que $\psi_p(t)=\phi_p(h_p(t))$.
A continuación, $\dot \psi_p(t)=Y(\psi_p(t)) \Rightarrow \dot \phi_p(h_p(t))\cdot h_p'(t)=f(\psi_p(t)) \cdot X(\psi_p(t))$
Así por $(1)$: $$X(\psi_p(t)) \cdot h_p'(t)=X\Big(\phi_p\big(h_p(t)\big)\Big)\cdot h_p'(t)=f(\psi_p(t)) \cdot X(\psi_p(t))$$
Así que si $ X(\psi_p(t)) \neq 0$, esto obliga a $h_p'(t)=f(\psi_p(t))=f\Big(\phi_p\big(h_p(t)\big)\Big)$
Esto motiva tratamos de analizar la siguiente ecuación, $\forall p \in M$:
$$(2) \,\, h_p(0)=0,h_p'(t)=f\Big(\phi_p\big(h_p(t)\big)\Big)$$
Ahora cambio notaciones:
Definir $h:\R \times M \to \R$ través de: $h(t,p)=h_p(t)$. Denotar $\til M = \R \times M$, y considerar la hipersuperficie $S = \{0\} \times M \subseteq \til M$. a continuación, $(2)$ se convierte en:
$$(3) \, \, h|_S=0, \pd{}{t} h = (f \circ \phi) \big(h(t,p),p\big)$$
El campo de vectores $\pd{}{t} \in \Ga\brk{T \til \M}$ está en ninguna parte de la tangente a $S$ (desde $T_{\brk{0,p}}S=0 \oplus T_p\M$$\pd{}{t}(t,p)=(1,0)$).
Denotar $C^\infty\brk{\til M \times \R} \ni \til f: \til M \times \R \to \R$ a través de la fórmula:
$$\til f((t,p),s) = (f \circ \phi)(s,p) $$, then $(3)$ se convierte en:
$$ (4) \, \, h|_S=0, \pd{}{t} h = \til f \big((t,p),h(t,p)\big)$$
La ecuación anterior es una instancia de una Quasilinear problema de Cauchy (en el colector $\til M$), por lo que sabemos $\forall \til p=(0,p) \in S$ existe una solución única en algunos de vecindad $U$$\til p$.
(Véase, por ejemplo, el Teorema de 9.53, página 242, en Juan M. Lee el libro de "Introducción a la suave colectores")
En el caso de $M$ es compacto, podemos proceder de la siguiente manera:
$\forall p \in \M , (0,p) \in S \Rightarrow (0,p) \in U \Rightarrow$ existe un conjunto abierto $\til U_p \subseteq U$ que contiene $(0,p)$. Por lo tanto, no existe $\ep_p \in \R \, , \, U_p \subseteq \M$ ($U_p$ abierta en $\M$) tales que $(-\ep_p,\ep_p) \times U_p \subseteq \til U_p$. $\{U_p|p \in \M\}$ forma una cubierta abierta de a $\M$, por lo tanto (por la compacidad de $M$) no hay un número finito de subcover $U_{p_1},\dots , U_{p_n}$.
Definir $\ep = min\{\ep_{p_i}|i=1,\dots,n \}$. De ello se deduce inmediatamente que $(-\ep,\ep) \times \M \subseteq U$.
Así, hemos establecido exsitence de una solución única en $(-\ep,\ep) \times \M$.
El problema es cómo continuar a partir de aquí.
Un enfoque ingenuo es definir $X = \{t \in I| \text{there exists a unique solution for $(4)$ in } (-t,t) \times \M \}$.
Ver el $s= \text{sup} X$. Pretendemos $\text{sup} X \in X$. Desde $X$ es cerrado hacia abajo, i.e : $x \in X \Rightarrow \brk{0 \le x' < x \Rightarrow x' \in X}$ se sigue que $[0,s) \subseteq X$.
Es fácil ver que debe haber una solución única para $(4)$$(-s,s) \times \M$. (Si hay dos soluciones diferentes, que se diferencian ya en algunas $s'<s$, lo que contradice $[0,s) \subseteq X$).
Por lo tanto, por la continuidad, hay al menos una solución en $[-s,s] \times \M$.
Así que, si sabíamos que sibe para extender la única solución en $(-s,s) \times \M$$[-s,s] \times \M$, entonces se podría avanzar en la (existencia y) singularidad más, por el mismo argumento, obteniendo así una contradicción.
(En este caso nuestra inicial hypersurfaces habría sido $\{s\} \times M$,$\{-s\} \times M$).
No estoy seguro de cómo mostrar la solución puede ser extendido de esa manera.
En principio, se puede iniciar también la ecuación de $t=s$ al exigir $h(s,p)$ a satisfacer $\psi(s,p)=\phi(h(s,p),p)$. Ya no constantes curvas integrales son inyectiva o periódico, que este podría determinar $h_{\{s\} \times M}$ única y tal vez podemos continuar desde allí. (Aunque luego el tema de la suavidad surgir).
