Solucionar $2\ddot{y}y - 3(\dot{y})^2 + 8x^2 = 0$

Question

Resolver la ecuación diferencial

$$2\ddot{y}y - 3(\dot{y})^2 + 8x^2 = 0$$

Yo sé que tenemos para el uso inteligente de sustitución de aquí, de modo que la ecuación se convierte en lineal. La única cosa que se me ocurrió es un smart adivinado solución particular: $y = x^2$. Si sustituimos esta función, obtenemos:
$$2\cdot2\cdot x^2 - 3(2x)^2 +8x^2 = 4x^2 - 12x^2 + 8x^2= 0$$

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He cometido un error. Los coeficientes de donde diferentes en el examen: $$ \begin{cases} 3\ddot{y}y + 3(\dot{y})^2 - 2x^2 = 0, \\ y(0) = 1, \\ \dot{y}(0) = 0. \end{casos} $$

¿Es la solución más fácil?

Answer 1

Deje $z=e^{ky}$. A continuación, $z'=ky'e^{ky}$ $$z''=ky''e^{ky}+k^2(y')^2 e^{ky}\text.$$

Si ponemos $k=-\frac{3}{2}$ $z''=-\frac{3}{2}y''e^{ky}+\frac{3}{2}^2(y')^2 e^{ky}$ o $\frac{2}{3}z''=-y''e^{ky}+\frac{3}{2}(y')^2 e^{ky}$, o $$-\frac{4}{3}z''=2y''e^{ky}-3(y')^2 e^{ky}\text{, or even}$$ $$-\frac{4z''}{3z}=2y''-3(y')^2\text.$$

La ecuación original es ahora $$\frac{4z''}{3z}=8x^2\text,$$ que espero conseguir más cerca.

De hecho...

Dado $z''=6x^2z$, ampliando $z$ como una potencia de la serie en $x$ rendimientos $a_n=\frac{a_{n-2}}{(n+1)(n+2)}$ multiplicado por una constante, lo que hace pensar que $z$ debe ser algo que ver con $e^{x^2}$.

Poner $$z=e^{ax^2+bx+c}$$ and differentiate twice, and you get something like $$z''=2az+4a^2x^2z+2abxz+b^2z\text,$$ which is enticing but has an embarrassing $xz$ term. Fortunately that is the only term in which $b$ isn't squared. So if you take $$z=e^{ax^2+bx+c}+e^{ax^2-bx+c}$$ and differentiate it twice, you will get rid of the unwanted $xz$ term and you will have constraints on $$ and $b$ which make $z$ satisfacer la ecuación diferencial.

Nota General: Todo esto se ha hecho en la parte de atrás de uno y una mitad de los sobres, así que comprobar.

Answer 2

$$ \begin{cases} 3y''y + 3(y')^2 - 2x^2 = 0, \\ y(0) = 1, \\ y'(0) = 0. \end{casos} $$

$$y''y+y'^2=(y'y)'\quad\to\quad 3(y'y)'=2x^2$$ $$3y'y=\frac{2}{3}x^3+c_1$$ $y'(0)=0\quad\to\quad c_1=0$ $$y'y=\frac{2}{9}x^3$$ $$2y'y=(y^2)'=\frac{4}{9}x^3$$ $$y^2=\frac{1}{9}x^4+c_2$$ $y(0)=1\quad\to\quad c_2=1$ $$y=\sqrt{\frac{1}{9}x^4+1}$$

Answer 3

Sugerencia:

Deje $y=\dfrac{1}{u^2}$ ,

A continuación, $y'=-\dfrac{2u'}{u^3}$

$y''=\dfrac{6(u')^2}{u^4}-\dfrac{2u''}{u^3}$

$\therefore\dfrac{2}{u^2}\left(\dfrac{6(u')^2}{u^4}-\dfrac{2u''}{u^3}\right)-3\left(-\dfrac{2u'}{u^3}\right)^2+8x^2=0$

$\dfrac{12(u')^2}{u^6}-\dfrac{4u''}{u^5}-\dfrac{12(u')^2}{u^6}=-8x^2$

$\dfrac{4u''}{u^5}=8x^2$

$u''=2x^2u^5$

Esto se reduce a un caso especial de Emden-Fowler ecuación.