Pregunta en la prueba de que el intervalo cerrado es compacto

Question

Tengo una pregunta en la parte en negrita de la prueba del siguiente teorema.

Teorema. Si $-\infty < a < b < \infty$, $[a, b]$ es un conjunto compacto.

Prueba. Deje $I_1 = [a, b]$ y el conjunto de $a_1 = a$, $b_1 = b$. Deje $\mathcal{G} = \{G_\alpha\}$ ser una cubierta abierta de a $I_1$ y supongamos $\mathcal{G}$ no tiene finita subcover. Si tanto los subintervalos $[a_1, (a_1 + b_1)/2]$ $[(a_1 + b_1)/2, b_1]$ había finito subcovers de $\mathcal{G}$, poniendo los dos finito subcovers juntos harían un número finito de subcover de $I_1$, así que al menos uno de los subintervalos no tiene un número finito de subcover. Elija el que no (o si ni no, elegir la más a la izquierda de uno) y llamar a $I_2 = [a_2, b_2]$.

Seguimos considerando $[a_2, (a_2 + b_2)/2]$ $[(a_2 + b_2)/2, b_2]$ y dejando $I_3$ ser uno de estos subintervalos de $I_2$ que no tiene un número finito de subcover de $\mathcal{G}$. Seguimos, obteniendo una secuencia $I_1 \supset I_2 \supset \ldots.$

Deje $x$ ser un punto en $\cap_i I_i$. Debido a que la longitud de $I_i$$2^{-i + 1}(b - 1)$, sólo puede haber un punto. $x$ $I1$ $\mathcal{G}$ es una cubierta para $I_1$, de modo que existe $G_{\alpha_0} \in \mathcal{G}$ tal que $x \in G_{\alpha_0}$. Desde $G_{\alpha_0}$ es abierto, existe $n$ tal que $(x - 2^{-n + 2}(b - a), x + 2^{-n + 2}(b - a)) \subset G_{\alpha_0}$. Pero $x \in I_n$ y la longitud de $I_n$$2^{-n + 1}(b - a)$, lo que implica que $I_n \subset G_{\alpha_0}$. Por lo tanto, el singleton $\{G_{\alpha_0}\}$ es finita subcover de $\mathcal{G}$ cubriendo $I_n$ una contradicción.

Yo realmente no siga esta última parte. Podría alguien añade algo más de detalle/aclararlo un poco para mí?

EDIT. Algunas preguntas específicas.

1. Desde $G_{\alpha_0}$ es abierto, existe $n$ tal que $(x - 2^{-n + 2}(b - a), x + 2^{-n + 2}(b - a)) \subset G_{\alpha_0}$.

   ¿Por qué estamos molestando a considerar $x \pm 2^{-n + 2}(b - a)$ frente a cualquier edad $x \pm \epsilon$?

2. No veo por qué no $x \in I_n$ (que yo compre) y la longitud de $I_n$ $2^{-n + 1}$ (que yo también compre) implica $I_n \subset G_{\alpha_0}$.
3. ¿Cómo llegamos a la conclusión de que $\{G_{\alpha_0}\}$ es un singleton?
4. Y por qué es $\{G_{\alpha_0}\}$ de un número finito de subcover de $\mathcal{G}$ cubriendo $I_n$?

Answer 1

Permítanme darles algunos detalles más:

• Pregunta 1:

$x\in G_{\alpha_0}$ que es abierto y, por tanto, $x$ es un punto interior de a $G_{\alpha_0}$.Por lo tanto, no existe $\epsilon>0$ tal que $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset G_{\alpha_0}$.

Por lo tanto, no debe existir por Arquímedes Propiedad de algunos $n\in \Bbb N$ tal que $(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\subset (x-\epsilon,x+\epsilon)\subset G_{\alpha_0}$. Si se aplica de Arquímedes de la Propiedad adicional de que siempre se puede encontrar $(x-\dfrac{b-a}{2^{n-2}},x+\dfrac{b-a}{2^{n-2}})\subset G_{\alpha_0}$.

¿Por qué elegir un $n$ es para facilitar la prueba.

• Pregunta 2:Anidados propiedad de Intervalo : Si $I_n$ es una secuencia descendente de un sistema cerrado con un intervalo de longitud de $\to 0$$\cap I_n=\{\text{singleton}\}$.
• Pregunta 3:

Recuerden $I_n$'s se han construido de manera tal que no es finito subcover de $G$ cubre $I_n$

Son estos los detalles que usted está pidiendo?