Una interesante geometría del problema sobre el incentro y elipses.

Question

Deje $I$ ser el incentro de un triángulo $ABC$. Un punto de $X$ satisface las condiciones $XA+XB=IA+IB$, $XA+XC=IA+IC$. Los puntos de $Y,Z$ se definen de manera similar. Mostrar que las líneas de $AX,BY,CZ$ son concurrentes o paralelas a cada uno de los otros.

Mi amigo descubrió este problema cuando se fue dibujando aleatoria de puntos suspensivos para la diversión. Pero no tenemos idea de cómo resolver un problema, puesto que, literalmente, no saben nada acerca de los puntos suspensivos (excepto su definición). Así que no se puede publicar donde estoy atascado aquí. Estamos solo por curiosidad, para ver la solución, si es o no es elemental.

No sabemos qué tipo de etiquetas debemos agregar porque no sabemos qué métodos se van a utilizar. Por favor, edite las etiquetas.

Answer 1

Por el momento, me limitaré a esbozar un enfoque, y desarrollar los cálculos posteriores. Que quede claro antes de que este enfoque tiene para trabajar, así que también puede dejar el no-muy interesante el cálculo de la parte a la CAS. La idea clave es resaltado.

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1. La concurrencia y colinealidad son fáciles de comprobar a través del teorema de Ceva, por lo tanto sólo tenemos que calcular las coordenadas trilineales de $X,Y,Z$, a continuación, compruebe que asociado un determinante se desvanece;

2. Los puntos suspensivos $\Gamma_A$ con focos en $B,C$ $\Gamma_B$ con focos en $A,C$ son dos cónicas reunión en dos puntos. Nos pueden escribir sus trilineal de ecuaciones y explotar Vieta del teorema para obtener el trilineal coordenadas de $Z$, ya que las coordenadas trilineales de $I$ son sólo $[1;1;1]$;

3. Con el fin de escribir el trilineal ecuación de nuestros puntos suspensivos es suficiente para recordar que $$ AI^2 = bc-4rR $$ y así sucesivamente. Por Vieta del teorema ni siquiera se necesitan todos los coeficientes de la trilineal ecuación, de manera que los cálculos no son dolorosas.

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