Mi pregunta es, si esto es posible, dos números reales $a,b$ tal que $K=\Bbb Q(a,b)$ no es una simple extensión de $\Bbb Q$. $\newcommand{\Q}{\Bbb Q}$
De curso $a$ $b$ no puede ser tanto algebraicas, de lo contrario $K$ sería un separables ($\Q$ tiene características de las $0$) y finito de extensión, que tiene que ser simple. Lo he intentado con $\Q(\sqrt 2, e)$ pero cualquier otro ejemplo sería aceptado.
El campo $\Q(\sqrt 2, e)$ tiene trascendencia grado $1$$\Q$, pero no estoy seguro de si esto implica que es isomorfo a $\Q(a)$ para algunos trascendental número $a$ (el hecho de que los dos campos tienen la misma trascendencia grado por encima del otro campo no implica que los campos son isomorfos).
No estoy seguro acerca de la relación entre la expresión algebraica de la independencia de $a$$b$, y el hecho de que $\Q(a,b)/\Q$ es una simple extensión. Observe que $\Q(\pi, e)$ es probablemente desconocido a ser una simple extensión de $\Q$.
Gracias por su ayuda!
Respuestas
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Usted tiene que demostrar que $$ \mathbb{Q}(X) \subsetneq \mathbb{Q}(e,\sqrt{2}) $$ para cualquier $X \in \mathbb{Q}(e,\sqrt{2})$.
Si $X$ es algebraica, a continuación, $[\mathbb{Q}(X) : \mathbb{Q}]$ es finito, mientras que $[\mathbb{Q}(e,\sqrt{2}): \mathbb{Q}]$ es infinito.
Si $X$ no es algebraico, entonces es trascendental. Esto es suficiente para mostrar que $\mathbb{Q}(X)$ no contiene una raíz cuadrada de $2$. Desde $\mathbb{Q}(X)$ es isomorfo a la fracción de campo de polinomios, hay que mostrar que no existen polinomios $p(X)$, $q(X)$ con coeficientes racionales tales que $$ \left( \frac{p(X)}{q(X)} \right)^2 = 2. $$ Se puede tomar desde aquí?
La extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},e)\supset\mathbb{Q}$ no es simple. Si $\mathbb{Q}(u)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},e)$, $\mathbb{Q}(u)$ es infinito-dimensional sobre $\mathbb{Q}$, lo $u$ es trascendental. Pero, a continuación, $\mathbb{Q}(u)$ es puramente trascendental $\mathbb{Q}$ mientras $\mathbb{Q}(\sqrt{2},e)$ no lo es.
Llame a $K=\Bbb{Q}(\sqrt{2})$. A continuación, $\Bbb{Q}(\sqrt{2} , e)$ es isomorfo a $K(x)$, la fracción de campo de $K[x]$. Si esto fuera una simple extensión de $\Bbb{Q}$, sería isomorfo a $\Bbb{Q}(x)$, la fracción de campo de $\Bbb{Q}[x]$. Así $$\Bbb{Q}(x) \cong K(x)$$ Pero esto contradice el hecho de que $X^2-2 \in \Bbb{Q}(x)[X]$ no tiene raíz en $\Bbb{Q}(x)$.
