¿Qué functor definición de la categoría de la teoría significa?

Question

Según Wikipedia:

Vamos a C y D ser categorías. Un functor F de C a D es una asignación que

• asociados a cada objeto $X$ C un objeto $F(X)$ D,
• asociados a cada uno de los morfismos $f : X \rightarrow Y$ C un morfismos $F(f) : F(X) \rightarrow F(Y)$ en D tal que las dos condiciones siguientes:
  • $F(id_X) = id_{F(X)}$ por cada objeto $X$ C
  • $F(g \circ f)$ = $F(g) \circ F(f)$ para todos los morfismos $f : X \rightarrow Y$ $g : Y \rightarrow Z$ en C.

Es decir, functors debe preservar la identidad de morfismos y la composición de morfismos.

Tal vez esto es debido a mis conocimientos en programación, pero no está claro cuál es $F$ en esta definición. Se parece a una función, pero no siempre tiene argumentos diferentes: $F(X)$ – objeto, $F(f)$ – morfismos.

Parece muy inteligente la función que acepta todo tipo de argumentos y sabe lo que debe devolver en cada caso.

Por otra parte, en este libro no es uno más de la ecuación que hace que la cosa aún más complicado:

$$F(f : X \rightarrow Y) = F(f) : F(X) \rightarrow F(Y)$$

Significa que si se pasa una función de $f : X \rightarrow Y$$F$, vamos a obtener una función de $F(f) : F(X) \rightarrow F(Y)$?

También, se $F$ menciona aquí: $F(f : X \rightarrow Y)$ y aquí: $F(X)$ a dos funciones diferentes con diferentes firmas y el comportamiento?

Answer 1

Tienes razón, $F$ realmente es de dos funciones. Si estás siendo muy formal, se podría decir que un functor $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ es un par $F=(F_0, F_1)$ donde $F_0 : \mathrm{ob}(\mathcal{C}) \to \mathrm{ob}(\mathcal{D})$ $F_1 : \mathrm{mor}(\mathcal{C}) \to \mathrm{mor}(\mathcal{D})$ son funciones satsifying

• Si $f : X \to Y$$\mathcal{C}$,$F_1(f) : F_0(X) \to F_0(Y)$$\mathcal{D}$;
• $F_1(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F_0(X)}$ todos los $X \in \mathrm{ob}(\mathcal{C})$; y
• $F_1(g \circ f) = F_1(g) \circ F_1(f)$ todos los $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$$\mathcal{C}$.

Hay varios codificación de trucos que puede utilizar para eliminar completamente la ambigüedad, pero en el día a día de la vida no hay ningún problema con solo escribir $F$ a denominar $F_0$$F_1$. Pero cuando se utiliza una prueba de asistente, es decir, la distinción tiene que ser hecho.

Answer 2

No se olvide de una categoría $\mathcal C$ se compone de dos tipos de datos: una clase de objetos, y para cada par de objetos, un conjunto de flechas. Por lo tanto, es natural que un functor de la categoría $\mathcal C$ a otra categoría, por así decir, dos componentes: una función de la clase de objetos, y las funciones de cada conjunto de flechas.

Answer 3

Si extrae el conjunto de¹ $Ob(C)$ de los objetos de la categoría de $C$ y el conjunto de $Ar(C)$ de flechas, entonces, dado cualquier functor $F : C \to D$, es cierto que se pueden construir dos funciones $$ Ob(C) \to Ob(D) : X \mapsto F(X) $$ $$ Ar(C) \to Ar(D) : f \mapsto F(f) $$ la satisfacción de las declaró propiedades. Y por el contrario, dados cualesquiera dos funciones de la satisfacción de las propiedades, existe un correspondiente functor.

Usted puede pensar en el functor como ser un par de funciones, pero es probablemente mejor que en lugar de pensar en eso como una forma de representar functors. Quiere pensar de un functor como una cosa en su propio derecho, en lugar de estar atados a esa representación.

Por ejemplo, usted puede hacer la cosa habitual de la promoción de la evaluación a un operador binario. En la teoría de conjuntos, existe un conjunto $Y^X$ de todas las funciones de$X$$Y$, y se puede considerar la evaluación de una función de $Y^X \times X \to Y$.

Usted puede hacer lo mismo con los functors; no es una categoría $D^C$ cuyos objetos son functors de $C$ $D$(y cuyas flechas son naturales transformaciones), y la evaluación es en sí misma un functor $D^C \times C \to D$.

Otro posible punto interesante es que las categorías no sólo tiene punto y en forma de flecha en forma de elementos. Tienen elementos en la forma de cualquier diagrama: por ejemplo, tienen conmutativa-cuadradoen forma de elementos, y el functor $F$ también los mapas conmutativa-de forma cuadrada de los elementos de $C$ a conmutativa-de forma cuadrada de los elementos de $D$.

Que un functor conserva la composición de morfismos en realidad puede ser expresado en los términos de la functor que actúan sobre la propiedad conmutativa-en forma de triángulo elementos.

(toda la información de una categoría es una de sus flechas por lo que puede reducir todos los diversos elementos en forma de flechas y ecuaciones entre ellos, pero que no tienen )

1: Reemplazar "set" con otras nociones como sea necesario o al gusto

Answer 4

Functors no son "funciones" debido a las categorías sí no son "conjuntos" para comenzar witthh. (Las contradicciones del concepto de "conjunto" de todos los grupos, con la que usted puede estar familiarizado, es lo que lleva a la necesidad de que el diferente concepto de "categoría" en el primer lugar.)

Usando la misma letra $F$ para las asignaciones de una categoría de objetos para el otro y para la asignación de la primera categoría del morfismos para el otro es un "abuso de notación" (sobrecarga es de hecho la analogía correcta); no es necesaria para la definición. Usted puede decir algo como un functor es un mapeo $F$ a partir de los objetos de $C$ a los objetos de $D$, junto con, para CADA par de objetos de $(X,Y)$$C$, en función de la $\varphi_{X,Y}$ (de hecho, debido a que morfismos entre dos objetos siempre deben ser conjuntos) de [ los morfismos de $X$ $Y$en la categoría de $C$ ] [a los morfismos de $F(X)$ $F(Y)$en la categoría de $D$ ]. La escritura de esta manera, sin necesidad de utilizar la misma notación $F$ para todo, no cambia la definición.