¿La unión de los dos no lo sea abierto bolas de contener siempre la línea que une los dos centros?

Question

Tal vez he sido dibujo mal, pero la intuición me de dibujo 2d círculos sugiere la afirmación anterior puede ser correcto. Todavía tengo que venir para arriba con una prueba en $\mathbb{R}^n$ o quizás normativa o métrica espacios.

No estoy seguro de la mayoría de la configuración general que permite la declaración de arriba para sostener, creo que voy a tener que restringir la declaración de Hilbert-Espacios, porque es fácil sacar ejemplos de lo contrario en otras normas. El quid es que parece ser que para los dos no lo sea abierto bolas $B_{r_1}(x)$ $B_{r_2}(y)$ en las normas, con excepción de 2, la línea de $\overline{xy}$ no necesita cruzar la intersección $B_{r_1}(x) \cap B_{r_2}(y)$. Así que creo que la declaración de que quieren demostrar es este:

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert y $x,y \in H$, $r_1, r_2 > 0$. Si $B_{r_1}(x) \cap B_{r_2}(y) \neq \emptyset$ $$\overline{xy} \cap (B_{r_1}(x) \cap B_{r_2}(y)) \neq \emptyset.$$

¿La declaración de arriba tal vez caracterizar un determinado tipo de objeto geométrico? Estoy pensando en una instrucción como: $A$ un subconjunto s.t. la unión de $A$ con un subconjunto $B$ contiene una línea que conecta su "centro de masa".

Answer 1

Esto es cierto en cualquier espacio métrico absoluto, si por "la línea entre el $x$ $y$" que significa "el conjunto de puntos de $z$ tal que $d(x,z)+d(y,z)=d(x,y)$". Esto incluye el nivel de las líneas en ${\bf R}^n$, así como la normativa de los espacios y geodésico de espacios (no de forma exclusiva geodésica del espacio, por ejemplo, una esfera con la métrica intrínseca, esta "línea" será la unión de geodesics, o al menos lo contiene).

Tomar cualquier cruzan dos bolas $B_x=B(x,r_x)$$B_y=B(y,r_y)$. Tomar cualquier punto de $z$ en la línea entre el$x$$y$. Entonces, por definición, $d(x,z)+d(y,z)=d(x,y)$. Pero ya que las dos bolas se cruzan, $r_x+r_y>d(x,y)$, y, por tanto,$d(x,z)+d(y,z)<r_x+r_y$, lo $d(x,z)<r_x$ o $d(y,z)<r_y$, y, por tanto, $z\in B_x$ o $z\in B_y$.

Answer 2

Si la intersección de la open bolas $B(x_1, r_1)$ $B(x_2, r_2)$ es no vacío, entonces $$\|x_1-x_2\|\leq \|x_1-y\|+\|y-x_2\|<r_1+r_2$$ donde $y$ es un punto de la intersección.

Los puntos sobre el segmento de $\overline{x_1 x_2}$ que conecta los centros de $x_1$ $x_2$ se dan por $P(t):=tx_1+(1-t)x_2$$t\in[0,1]$.

A continuación, para $t\in [r_2/(r_1+r_2),1]$: $$\|P(t)-x_1\|=(1-t)\|x_2-x_1\|<(1-t)(r_1+r_2)\leq r_1,$$ que es $P(t)$ pertenece a $B(x_1, r_1)$.

En una manera similar para $t\in [0,r_2/(r_1+r_2)]$: $$\|P(t)-x_2\|=t\|x_2-x_1\|<t(r_1+r_2)\leq r_2,$$ que es $P(t)$ pertenece a $B(x_2, r_2)$.

Por lo tanto $P(t)$ es en la unión de las dos bolas para cualquier $t\in[0,1]$.