Nunca subestimes el valor de las nociones primitivas. Dicho esto:
Esta es una forma de definir el área para una amplia gama de formas en $\mathbb{R}^2$ sin recurrir a la teoría de la medida (y podría decirse que se acerca más a la definición intuitiva de área, pero véase más adelante). En primer lugar, definir por decreto que el área de un $a\times b$ rectángulo es $ab$ . A continuación, decimos que dos formas tienen la misma área si podemos cortar una forma en un número finito de piezas mediante un número finito de cortes, y reorganizar esas piezas mediante un número finito de movimientos rígidos para obtener la otra forma. Véase la página 2 de este documento de Hales .
( EDIT: la definición de área de un rectángulo introduce problemas no triviales en torno a la buena definición, ver los comentarios de Eric Wofsey más abajo. Si queremos evitar este problema, podemos simplemente definir el área de una forma para ser el conjunto de todas las formas que es equivalente a las tijeras. )
Ahora bien, este enfoque tiene un par de inconvenientes. En primer lugar, no permite medir el área de los no polígonos. Pero podría decirse que eso está bien - tal vez en el contexto de la geometría euclidiana clásica, sólo nos importan los polígonos, y de hecho este enfoque hace calcular con éxito el área de cada polígono: cualquier polígono puede ser cortado y reordenado adecuadamente en un rectángulo. El problema más grave viene cuando intentamos generalizar a dimensiones superiores: resulta que incluso en dimensión $3$ ¡las cosas se rompen! Hay poliedros con el mismo volumen que no pueden cortarse y reordenarse entre sí. Véase El tercer problema de Hilbert . Esto se puede arreglar añadiendo operaciones más complicadas que las de tijera, pero las cosas se complican rápidamente. En particular, no conozco ninguna versión de la congruencia de las tijeras que funcione para $n$ -lo que, en mi opinión, es un buen argumento a favor de la naturalidad de la medida de Lebesgue.
Nótese que la medida de Lebesgue es en realidad dos temas distintos: primero, exterior medida ( $\mu(A)$ es el inf sobre todas las coberturas por cajas de la suma de las medidas de las cajas implicadas), y segundo, el álgebra de conjuntos medibles . Pero esta segunda cuestión puede dejarse de lado para la geometría "clásica", y lo que nos queda es una noción formal que -en mi opinión- hace un muy buen trabajo para capturar el concepto informal de área/volumen/etc. En particular, los argumentos por agotamiento para calcular el área de (digamos) el círculo me parecen fundados en una visión del área muy cercana a ésta. Voy de un lado a otro sobre cuál (tijera o medida) corresponde mejor a la noción "preteórica" de área/volumen/etc. (e incluso sobre si hay es en primer lugar, en un sentido significativo). En este momento, me inclino ligeramente hacia el lado de las tijeras, pero eso puede cambiar.
