Es la serie de $\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{4} + \dots$ summable?

Question

Es la serie de $\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{4} + \dots$ summable? Creo que diverge aunque:

$$ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \approx \frac{1}{2\sqrt{n}}$$ por ejemplo, el Valor medio Teorema $f(x+1)-f(x) \approx f'(x)$ y entonces yo podría argumentar: $$ \sum_{n \geq 1} (-1)^{n+1} \sqrt{n} = \frac{1}{2}\sum_{m \geq 1} \frac{1}{\sqrt{2m}} = \infty $$ Son estos Cesaro summable? Para un número par de términos: $$\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{4} + \dots - \sqrt{2n} \aprox - \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \approx \sqrt{\frac{n}{2}}$$ así que el Cesaro los medios tienden a infinito. Hace más creativo suma método de trabajo?

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El resultado es de papel que se llama "El Segundo Teorema de Consistencia para Summable de la Serie" en el Tomo 6 de las Obras completas de GH Hardy

la serie $1 - 1 +1 - 1 \dots$ es summable $(1,k)$ cualquier $k$ pero no summable $(e^n, k)$ para cualquier valor de $k$.

La serie $\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{4} + \dots$ es summable $(n,1)$ pero no $(e^{\sqrt{n}},1)$ y así sucesivamente...

Aquí las cosas como $(1,k), (n,1)$ se refieren a ciertos promedio de los procedimientos, IDK

Answer 1

Acerca de cómo un Abel suma? $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\sqrt{n}\;x^n = -\mathrm{Li}_{-1/2}(-x) $$ para $|x|<1$ y converge como $x \to 1^-$ para el valor $$ -\mathrm{Li}_{-1/2}(-1) \aprox 0.3801048 $$ Por eso decimos que el valor de las Abel suma de las series divergentes $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\sqrt{n}$

Answer 2

Vamos a mostrar que $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\sqrt{k}$ es Cesaro summable. Una vez que establecemos esto, entonces esto también es Abel summable y la Cesaro suma es igual a la de Abel suma, que es

$$ \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\sqrt{k} = -\operatorname{Li}_{-1/2}(-1) = (1 - 2^{3/2})\zeta(-1/2). $$

Para este fin, vamos a $s_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\sqrt{k}$ y el aviso de que $s_n = \mathcal{O}(\sqrt{n})$. Esto puede ser fácilmente controlado por la agrupación de dos términos sucesivos y aplicando el valor medio teorema. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que

$$ \frac{s_1 + \cdots + s_{2n+1}}{2n+1} $$

converge. Ahora, el truco es considerar

$$ s_{2n} + s_{2n+1} = 1 + \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1} - 2\sqrt{2k}). $$

Utilizando la serie de Taylor, no es difícil comprobar que

$$\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1} - 2\sqrt{2k} = \mathcal{O}(k^{-3/2}). $$

Por lo tanto $s_{2n} + s_{2n+1}$ converge como $n \to \infty$, y la demanda sigue de Cearso-Stolz teorema.

Answer 3

Esta suma se puede hacer con alguna forma de zeta función de regularización. Para $\Re s >1$, definir:

$$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = (1-2^{1-s})\zeta(s) $$

Entonces, por la continuación analítica, podemos calcular:

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \sqrt{n} \to \eta\left(-\frac{1}{2}\right) = (1-2\sqrt{2})\zeta\left(-\frac{1}{2}\right) \approx .3801048$$

Esto es igual a la de Abel suma $-\operatorname{Li}_{-\frac{1}{2}} (-1)$ de GEdgar la respuesta.

Answer 4

Para la intuición - aquí están algunas sumatorias, mostrando el progreso de las sumas parciales hasta de índice n:

   n    direct sum      Cesarosum       Cesarosum       Eulersum         Eulersum        Eulersum
                          order 2         order 4         order 1         order 1/2     order sqrt(1/2)
   ----------------------------------------------------------------------------------------------------
   0    1.00000000000   1.00000000000   1.00000000000   1.00000000000    1.00000000000   1.00000000000
   1  -0.414213562373  0.292893218813  0.646446609407  0.292893218813  0.0571909584179  0.171572875254
   2    1.31783724520  0.634541227608  0.607519655808  0.372352530112   0.512721636810  0.422772999027
   3  -0.682162754804  0.305365232005  0.539303380327  0.378588536708   0.328572723321  0.370989365477
   4    1.55390522270  0.555073230143  0.522065851592  0.379713964073   0.399353836977  0.381763811860
   5  -0.895584520088  0.313296938438  0.493541493492  0.379988083920   0.373053691245  0.379763647612
   6    1.75016679098  0.518564060229  0.483741558178  0.380066565914   0.382646545140  0.380160944951
   7   -1.07826033377  0.318961010979  0.468182885218  0.380091452109   0.379197665397  0.380092326363
   8    1.92173966623  0.497047528229  0.461836541330  0.380099920721   0.380425772282  0.380106436474
   9   -1.24053799394  0.323288976013  0.452077282604  0.380102955702   0.379991936204  0.380104311828
  10    2.07608679642  0.482634232413  0.447622208332  0.380104087332   0.380144293995  0.380104835957
  11   -1.38801481872  0.326746811485  0.440944677832  0.380104522684   0.380091058757  0.380104786215
  12    2.21753645674  0.472192168813  0.437640158402  0.380104694466   0.380109586124  0.380104809822
  13   -1.52412093003  0.329598376039  0.432791176214  0.380104763682   0.380103160679  0.380104810527
  14    2.34886241618  0.464215978714  0.430239830835  0.380104792065   0.380105382732  0.380104812081
  15   -1.65113758382  0.332006381056  0.426562761461  0.380104803879   0.380104616275  0.380104812387
  16    2.47196804180  0.457886478746  0.424531900800  0.380104808861   0.380104880083  0.380104812536
  17   -1.77067264532  0.334077638520  0.421650006923  0.380104810985   0.380104789461  0.380104812582
  18    2.58822629822  0.452717041662  0.419994156166  0.380104811900   0.380104820539  0.380104812600
  19   -1.88390965678  0.335885706740  0.417676078989  0.380104812297   0.380104809898  0.380104812606
  20    2.69866603817  0.448399055856  0.416299534590  0.380104812471   0.380104813536  0.380104812608
  21   -1.99174972165  0.337483202333  0.414395464588  0.380104812548   0.380104812294  0.380104812609
  22    2.80408180166  0.444726619695  0.413232642238  0.380104812582   0.380104812717  0.380104812610
  23   -2.09489768390  0.338908940378  0.411641364821  0.380104812597   0.380104812573  0.380104812610
  24    2.90510231610  0.441556675407  0.410645790363  0.380104812604   0.380104812622  0.380104812610
  25   -2.19391719750  0.340192295680  0.409296497183  0.380104812607   0.380104812605  0.380104812610
  26    3.00223522521  0.438786478255  0.408434304228  0.380104812609   0.380104812611  0.380104812610
  27   -2.28926739692  0.341355982713  0.407275994591  0.380104812609   0.380104812609  0.380104812610
  28    3.09589741021  0.436340169868  0.406521911759  0.380104812609   0.380104812610  0.380104812610
  29   -2.38132816484  0.342417892045  0.405516932547  0.380104812610   0.380104812610  0.380104812610
  30    3.18643619799  0.434160418043  0.404851713796  0.380104812610   0.380104812610  0.380104812610
  31   -2.47041805150  0.343392340870  0.403971669522  0.380104812610   0.380104812610  0.380104812610

Cesarosum(2) parece ser demasiado débil; se da con 32 sumas parciales todavía oscilante de valores alrededor del valor final de la $s$. Pero el intervalo parece ser contratantes, por lo que parece que será suficiente, en principio. Cesarosum(4) hace el trabajo mejor, y mientras que la aproximación de monótonamente desde arriba no es más oscilaciones.
Cesarosums también puede ser generalizado a fracciones de órdenes, pero no me trate de encontrar el óptimo de fracciones de pedido en el momento.

De Euler-suma puede sumar la alternancia de serie armónica de cualquier exponente (esto puede ser visto por G. H. Hardy o por K. Knopp libros); aquí Eulersum(1) da una solución estándar, pero puede ser visto a la aproximación de "demasiado lento" (así se podría decir que es "demasiado fuerte" para esta serie), mientras que Eulersum($\frac12$) es "demasiado débil" - a 26-esima plazo, las sumas parciales son todavía visiblemente oscilante alrededor de $s$ y se puede continuar así en el final (no se muestra) dígitos; sin embargo, el intervalo es muy contratante, por lo que deberá encontrar mejores aproximaciones más tarde. Eulersum($\sqrt{\frac12}$) parece ser el mejor para este caso de la serie porque la correcta primeros 12 dígitos ocurrir como resultado constante primeros en esa pequeña comparación.

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Para ver un poco más, aquí son las diferencias de las sumas parciales para el valor final:

   n    direct sum   Cesarosum   Cesarosum           Eulersum              Eulersum            Eulersum
                      order 2       order 4           order 1              order 1/2        order sqrt(1/2)
  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
   0   0.61989519    0.61989519   0.61989519            0.61989519            0.61989519            0.61989519
   1  -0.79431837  -0.087211594   0.26634180          -0.087211594           -0.32291385           -0.20853194
   2   0.93773243    0.25443641   0.22741484         -0.0077522825            0.13261682           0.042668186
   3   -1.0622676  -0.074739581   0.15919857         -0.0015162759          -0.051532089         -0.0091154471
   4    1.1738004    0.17496842   0.14196104        -0.00039084854           0.019249024          0.0016589993
   5   -1.2756893  -0.066807874   0.11343668        -0.00011672869         -0.0070511214        -0.00034116500
   6    1.3700620    0.13845925   0.10363675       -0.000038246696          0.0025417325        0.000056132342
   7   -1.4583651  -0.061143802  0.088078073       -0.000013360501        -0.00090714721       -0.000012486246
   8    1.5416349    0.11694272  0.081731729      -0.0000048918883         0.00032095967       0.0000016238648
   9   -1.6206428  -0.056815837  0.071972470      -0.0000018569080        -0.00011287641     -0.00000050078187
  10    1.6959820    0.10252942  0.067517396     -0.00000072527779        0.000039481386     0.000000023346826
  11   -1.7681196  -0.053358001  0.060839865     -0.00000028992563       -0.000013753852    -0.000000026395105
  12    1.8374316   0.092087356  0.057535346     -0.00000011814347       0.0000047735140   -0.0000000027880405
  13   -1.9042257  -0.050506437  0.052686364    -0.000000048928020      -0.0000016519303   -0.0000000020824686
  14    1.9687576   0.084111166  0.050135018    -0.000000020544902      0.00000057012251  -0.00000000052824026
  15   -2.0312424  -0.048098432  0.046457949   -0.0000000087303762     -0.00000019633449        -2.2297034E-10
  16    2.0918632   0.077781666  0.044427088   -0.0000000037487327     0.000000067473071        -7.3301616E-11
  17   -2.1507775  -0.046027174  0.041545194   -0.0000000016244918    -0.000000023148630        -2.7573817E-11
  18    2.2081215   0.072612229  0.039889344  -0.00000000070971290    0.0000000079289801        -9.8174144E-12
  19   -2.2640145  -0.044219106  0.037571266  -0.00000000031232210   -0.0000000027121709        -3.6279833E-12
  20    2.3185612   0.068294243  0.036194722        -1.3834315E-10   0.00000000092651001        -1.3293701E-12
  21   -2.3718545  -0.042621610  0.034290652        -6.1641605E-11  -0.00000000031615339        -4.9330835E-13
  22    2.4239770   0.064621807  0.033127830        -2.7613136E-11         1.0776531E-10        -1.8338260E-13
  23   -2.4750025  -0.041195872  0.031536552        -1.2430206E-11        -3.6699083E-11        -6.8598280E-14
  24    2.5249975   0.061451863  0.030540978        -5.6206028E-12         1.2486495E-11        -2.5751761E-14
  25   -2.5740220  -0.039912517  0.029191685        -2.5519505E-12        -4.2450512E-12        -9.7087865E-15
  26    2.6221304   0.058681666  0.028329492        -1.1630745E-12         1.4420926E-12        -3.6731229E-15
  27   -2.6693722  -0.038748830  0.027171182        -5.3194349E-13        -4.8956357E-13        -1.3944552E-15
  28    2.7157926   0.056235357  0.026417099        -2.4408222E-13         1.6608839E-13        -5.3103197E-16
  29   -2.7614330  -0.037686921  0.025412120        -1.1233653E-13        -5.6313726E-14        -2.0282063E-16
  30    2.8063314   0.054055605  0.024746901        -5.1847946E-14         1.9082742E-14        -7.7675619E-17
  31   -2.8505229  -0.036712472  0.023866857        -2.3993181E-14        -6.4631442E-15        -2.9824069E-17

Creo que es mejor ahora, que el Cesaro-sumatorias aproximado mucho más lento de todos los Euler-sumatorias; también muestra la alternancia de signos en las distancias entre el valor final de la $s$ puede ser visto como útil tan larga como la de los intervalos de contrato (e incluso el contrato más rápido que el de la no alternancia de las distancias).

[actualización] Sólo para la terminación: la Cesarosum(3) parece funcionar mejor que la Cesarosum(4), y aún mejor la Cesarosum de la fracción de la orden de 2.8. Si, por ejemplo, Cesarosum(2.35) es aún mejor es una cuestión de opinión, aunque... Ver la aproximación-errores de las sumas parciales alrededor de n=32-términos:

   showing (n'th Partial sums) - (final value)
  ------------------------------------------------------------------------
   n !  Cesarosum(4)  ! Cesarosum(3)  ! Cesarosum(2.8)   ! Cesarosum(2.35)
  ---+----------------+---------------+------------------+-----------------
   ...       ...          ...                 ...
  25  0.0291916845736  0.0179475747469  0.0144055813350   -0.00148866655773
  26  0.0283294916179  0.0208571526683  0.0205452310850     0.0275184163551
  27  0.0271711819811  0.0167463952500  0.0134610730999   -0.00152042853712
  28  0.0264170991491  0.0193789927172  0.0190753425386     0.0257585187486
  29  0.0254121199376  0.0156973208926  0.0126350050556   -0.00154129743087
  30  0.0247469011866  0.0180947136764  0.0177989024790     0.0242186544925
  31  0.0238668569121  0.0147730660754  0.0119062541335   -0.00155396729937
   ...       ...          ...                 ...

Answer 5

Pensé que podría ser instructivo para presentar una aproximación de fuerza bruta. A fin de proceder.

Deje $S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\sqrt{k}$ ser la secuencia de interés. Entonces, podemos escribir el par y el impar de términos, respectivamente, por

$$\begin{align} S_{2n}&=\sum_{k=1}^n \left(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k}\right)\\\\ S_{2n+1}&=1+\sum_{k=1}^n \left(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k}\right) \end{align}$$

A continuación, el Cesaro Suma está dada por

$$\begin{align} \frac{\sum_{n=0}^N (S_{2n}+S_{2n+1})}{2N+1}&=\frac{1+\sum_{n=1}^N\left(1+ \sum_{k=1}^n \left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right)\right)}{2N+1} \tag 1\\\\ &=\frac{N+1}{2N+1}+\frac{1}{2N+1}\sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^n \left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right)\tag 2\\\\ &=\frac{N+1}{2N+1}+\frac{1}{2N+1}\sum_{k=1}^N\sum_{n=k}^N \left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right)\tag 3\\\\ &=\frac{N+1}{2N+1}+\frac{1}{2N+1}\sum_{k=1}^N(N+1-k)\left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right) \tag 4\\\\ &=\frac{N+1}{2N+1}+\frac{N+1}{2N+1}\sum_{k=1}^N \left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right) \tag 5\\\\ &-\frac{1}{2N+1}\sum_{k=1}^N k\left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right) \end{align}$$

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NOTAS:

En lo que va de $(1)$$(2)$, simplemente nos lleva a nuestro trivial suma $\sum_{k=1}^n (1)=N$.

En lo que va de $(2)$$(3)$, podemos intercambiar el orden de la suma.

En lo que va de $(3)$$(4)$, se evaluó el interior de la suma.

En lo que va de $(4)$$(5)$, dividimos la expresión en la suma de tres términos.

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Como $N\to \infty$, el primer término en $(5)$ enfoques $\frac12$, mientras que el segundo término enfoques $\frac12 \sum_{k=1}^\infty \left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right)$. El tercer término en $(5)$ puede ser demostrado que el enfoque de $0$ desde $\sum_{k=1}^N k \left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right) =O\left(N^{1/2}\right)$.

Por lo tanto, nos encontramos con que

$$\lim_{N\to \infty}\frac{\sum_{n=0}^N (S_{2n}+S_{2n+1})}{2N+1}=\frac12+\frac12 \sum_{k=1}^\infty \left(\sqrt{2k+1}-2\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}\right) $$