Punto que divide un cuadrilátero en cuatro cuadriláteros de igual área

Question

Consideremos un cuadrilátero irregular $ABCD$ . Sea $E,F,G,H$ sean los puntos medios de sus aristas. Parece que hay un punto $K$ tal que $$ S_{AHKE} = S_{EKFB} = S_{KHDG} = S_{KGCF} \left(= \frac{1}{4} S_{ABCD}\right) $$ Tengo curiosidad por saber si el punto $K$ tiene otras propiedades interesantes.

Aquí está la prueba de que este punto existe: Suponiendo que $A,B,C,D,I$ tienen coordenadas $\mathbf p_1, \mathbf p_2, \mathbf p_3, \mathbf p_4, \mathbf p$ respectivamente. Entonces $$ \mathbf S_{AHKE} = \frac{1}{2} (\mathbf p - \mathbf p_1) \times \frac{\mathbf p_2 - \mathbf p_4}{2} = \frac{1}{4} (\mathbf p - \mathbf p_1) \times (\mathbf p_2 - \mathbf p_4)\\ \mathbf S_{EKFB} = \frac{1}{4} (\mathbf p_3 - \mathbf p_1) \times (\mathbf p_2 - \mathbf p) = \frac{1}{4} (\mathbf p - \mathbf p_2) \times (\mathbf p_3 - \mathbf p_1)\\ \mathbf S_{KHDG} = \frac{1}{4} (\mathbf p_3 - \mathbf p_1) \times (\mathbf p - \mathbf p_4) = \frac{1}{4} (\mathbf p_4 - \mathbf p) \times (\mathbf p_3 - \mathbf p_1)\\ \mathbf S_{KGCF} = \frac{1}{4} (\mathbf p_3 - \mathbf p) \times (\mathbf p_2 - \mathbf p_4) $$ Es fácil ver que $$ \mathbf S_{AHKE} + \mathbf S_{KGCF} = \frac{1}{2} \mathbf S_{ABCD}\\ \mathbf S_{EKFB} + \mathbf S_{KHDG} = \frac{1}{2} \mathbf S_{ABCD} $$ por lo que hay exactamente dos ecuaciones lineales $$ \mathbf S_{AHKE} - \mathbf S_{KGCF} = 0\\ \mathbf S_{EKFB} - \mathbf S_{KHDG} = 0 $$ para determinar dos componentes de $\mathbf p$ . Y son $$ (2\mathbf p - \mathbf p_1 - \mathbf p_3) \times (\mathbf p_2 - \mathbf p_4) = 0\\ (2\mathbf p - \mathbf p_2 - \mathbf p_4) \times (\mathbf p_3 - \mathbf p_1) = 0 $$ lo que equivale a $$ \mathbf p = \frac{\mathbf p_1 + \mathbf p_3}{2} + \lambda(\mathbf p_2 - \mathbf p_4) = \frac{\mathbf p_2 + \mathbf p_4}{2} + \mu(\mathbf p_3 - \mathbf p_1), \quad \lambda,\mu \in \mathbb R $$ La definición geométrica de $K$ debería ser obvio ahora: el punto $K$ es la reflexión del punto de intersección de la diagonal $M = AC \cap BD$ sobre el centro de los vértices $P$

Answer 1

De su definición de $K$ se deduce que los triángulos $EBK$ y $GCK$ tienen la misma área, que es lo mismo que decir que los triángulos $ABK$ y $DCK$ tienen la misma zona. En otras palabras: $K$ divide $ABCD$ en dos parejas de triángulos de igual área.

Dados dos segmentos $AB$ y $CD$ cuyas extensiones se encuentran en $Q$ (ver imagen inferior), el lugar de los puntos $X$ tal que $XAB$ y $XCD$ tienen la misma superficie, con $X$ perteneciente a $\angle AQD$ es la línea $QR$ , donde $R$ es el vértice opuesto a $Q$ del paralelogramo con lados paralelos y congruentes a $AB$ y $CD$ . Una construcción diferente pero obvia es necesaria si $AB$ y $CD$ son paralelos.

De la misma manera se puede construir la línea $ST$ que es el lugar de los puntos que forman con $AD$ y $BC$ triángulos de igual área. Punto $K$ es entonces la intersección de $QR$ y $ST$ .