Puedo Raíz Cuadrada De Una Serie?

Question

Tengo una pregunta, en la Mecánica Cuántica donde tengo que resolver una serie, y la cosa es que yo pueda obtener la respuesta a una serie similar con la ayuda de el mismo problema pero no estoy seguro de si puedo raíz cuadrada de mi serie para utilizar en el problema. Por ejemplo yo tengo $$\sum_{n=1,3,5,7...}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{96}$$. But the summation I need is for $\estilo{Negrita}{\frac{1}{n^2}}$ So is it fine to square root both sides and say $$\sum_{n=1,3,5,7...}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{\sqrt{96}}$$

Answer 1

No. Por la misma razón que $$ \sqrt{a_1+...+a_n}\ne \sqrt{a_1}+....+\sqrt{a_n} $$ Lo que usted está diciendo también implicaría que decir que la serie armónica converge, que no es así.

Answer 2

Usted se pregunta si $\sqrt{(\sum a_i)} = \sum(\sqrt {a_i}) $.

¿No es así? Qué $5=\sqrt {9 +16} = \sqrt {9} + \sqrt {16}=7 $?

Answer 3

Menos grosero, más helpy:

No es el de Schwarz desigualdad:

$(\sum ab)^2 \le \sum a^2 * \sum b^2$

Por lo $\sum 1/n^4 = \pi^4/96$ obviamente no quiere decir $\sum 1/n^2 = \pi^2/\sqrt{96}$ pero no significa $\sum 1/n^2 \ge \pi^2/\sqrt{96}$.

También significa $\sum 1/n \ge \pi/\sqrt[4]{96}$ que es.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a + b}$ (por lo tanto,$7 = \sqrt{9} + \sqrt{16} \ge \sqrt{9+16} = 5$.

Que pueden ser útiles.

Answer 4

Sí, la serie puede ser cuadrada arraigada, pero no como este. Intentar cuadrar una serie y, a continuación, encontrar lo es cuando lo hace igual a la serie original. No será bonito, pero será la raíz cuadrada de la serie.

Answer 5

El ya dado respuestas muy agradable; aquí es una forma más de pensar acerca de esto:

A la pregunta de por qué la respuesta a tu pregunta es no (o, al menos, "no simplemente como usted desee") es muy interesante. Pero ¿cómo se puede establecer, en primer lugar, que la respuesta es no?

Para ello, bastará con un único contraejemplo. Recogiendo contraejemplos es un poco de un arte; para la cuestión que aquí se propone, me inclino a tratar de una serie infinita para que la suma converge a $1$. El razonamiento que hay en mi mente, puedo, a continuación, compruebe si el cuadrado correspondiente de raíces de la serie converge a $\sqrt{1} = 1$. (O es $\sqrt{1} = -1$? Bien, vamos a investigar.)

Considere la posibilidad de la clásica serie geométrica:

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1/2 + 1/4 + 1/8 + \cdots = 1$$

A continuación, se consideran la plaza de raíces versión:

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n/2}} = 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{4} + \cdots $$

El último de la serie tiene todos los términos positivos, por lo que sus sumas parciales son monótonamente creciente. Sin embargo, sumamos los dos primeros términos para encontrar:

$$1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{4} = 1/\sqrt{2} + 1/2 > 1$$

Así, lo que está pasando con el último de la serie (que, por cierto, hace converger: a $1 + \sqrt{2}$) sabemos que su cálculo no es tan simple como tomar la raíz cuadrada de nuestra primera serie de " límite; que el enfoque simplista podría sugerir la plaza de raíces de la serie también convergen a $1$, pero ya dos términos en que se ha sobrepasado $1$ con ningún plan de retorno.

(El aceptado la respuesta proporciona una aún más extrema ejemplo: Una inicial de la serie, la suma de las plazas " recíprocos, que converge, pero un cuadrado de raíces versión de que los rendimientos de la serie armónica, que diverge!)