"Si $f$ es una función lineal de la forma$f(x)=mx+b$, $f(u+v)=f(u)+f(v).$" Verdadero o falso?

Question

El resto de la pregunta indica lo siguiente: "Si es cierto, dar una explicación de por qué. Si es false, dar un contraejemplo."

Aquí está la siguiente declaración:

Si $f$ es una función lineal de la forma$f(x)=mx+b$, $f(u+v)=f(u)+f(v).$

Sé que esta afirmación es falsa porque me eligió arbitrariamente una función de la forma $f(x)=mx+b$ y he conectado números aleatorios para $u$$v$.

Mi pregunta es esta: ¿es suficiente para sólo usar variables para los contra-ejemplos o debe números reales se pueden utilizar?

Aquí está mi trabajo:

Falso. Contra-ejemplo:

Dar $m$ $b$ los valores de $1/2$$3$, respectivamente. Por lo tanto, $f(x)=mx+b$ hace $f(x)=x/2+3$.

Dar $u$ $v$ los valores de $2$$4$, respectivamente. Ahora tenemos:

$f(2)+f(4)=(1/2)(2)+3+(1/2)(4)+3=9.$

$f(2+4)=f(6)=(1/2)(6)+3=6.$

$9\neq6,$ , por lo tanto, esta afirmación es falsa.

Answer 1

Sí, su contraejemplo es suficiente. Sin embargo, no es uno más fácil: Deje $b \neq 0$. Entonces $$ f(0 + 0 ) = b \neq 2b = f(0) + f(0), $$

por lo tanto $f(u+v) = f(u) + f(v)$ hace que no se mantenga para arbitrario $u,v$. Por otro lado, si $b = 0$, es fácil ver que $f(u+v) = f(u) + f(v)$ todos los $u,v$.