$x+y=xy=w \in \mathbb{R}^+$ . Es $x^w+y^w$ ¿De verdad?

Question

Pregunta: Para $x,y \in \mathbb{C}$ Supongamos $x+y=xy=w \in \mathbb{R}^+$ . Es $x^w+y^w$ ¿es necesariamente real?

Por ejemplo, si $x+y=xy=3$ una solución es $x = \frac{3 \pm i \sqrt{3}}{2}$ , $y = \frac{3 \mp i \sqrt{3}}{2}$ pero $x^3 + y^3 = 0$ que es real.

Lo he comprobado numéricamente para muchos valores de $w$ que dan complejos $x$ y $y$ (a saber, $w \in (0,4)$ .)

Answer 1

Sí. Desde $x + y \in \mathbb{R}$ , $y = \overline{x} + r$ para algunos $r \in \mathbb{R}$ . Entonces $xy = |x|^2 + xr \in \mathbb{R}$ lo que implica que $r = 0$ o $x \in \mathbb{R}$ . Luego nos ocupamos de los casos:

• Si $r = 0$ entonces $y = \overline{x}$ Esto conduce a

  $$x^w + y^w = x^w + \overline{x^w} \in \mathbb{R}.$$

  Advertencia: para que esto funcionara, teníamos que elegir la rama estándar del logaritmo complejo, concretamente, la indefinida en la recta real no positiva, cuya parte imaginaria está entre $-\pi$ y $\pi$ . Una vez definido $z^w := e^{w \ln z}$ , ${(\overline{x})}^w = \overline{x^w}$ es cierto para esta rama de $\ln$ (como $x$ no es real no positivo), pero podría no serlo para otra rama.

  Esta advertencia no se aplica cuando $w$ es un número entero. Pero tomemos, por ejemplo, $x = 1 + \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ , $y = 1 + \frac{1 - i}{\sqrt{2}}$ . Entonces $x + y = xy = 2 + \sqrt{2}$ . Si eligiéramos otra rama de $x^w + y^w$ no es real.

• Por otra parte, si $x \in \mathbb{R}$ entonces $y \in \mathbb{R}$ Así que $x^w + y^w \in \mathbb{R}$ . Desde $x + y = xy > 0$ , $x,y$ deben ser ambos positivos, por lo que no tenemos problemas con una base negativa del exponente.

---

Tenga en cuenta que no había nada especial en $w$ podríamos haber llegado a la conclusión más firme de que $x^a + y^a \in \mathbb{R}$ para todos $a \in \mathbb{R}$ .

Answer 2

Sí. Escribe $x=a+bi$ , $y=c-di$ es evidente que $b=d$ porque $x+y$ es real.

Así que $x=a+bi$ , $y=c-bi$ . Entonces $xy=ac-abi+cbi+b^2$ Así que $a=c$ o $b=0$ .

• Si $a=c$ entonces $y = \overline{x}$ es decir, el complejo conjugado de $x$ .
  Así que $x^w+y^w = x^w+(\overline{x})^w = x^w+\overline{x^w}$ que es real.

• Si $b=0$ , $x$ y $y$ son reales así que $x^w+y^w$ es real como $w>0$ .

Answer 3

$x+y$ real implica que $\Im(x)=-\Im(y)$. Por lo tanto si $x=a+bi$$y=c-bi$.

$xy$ real implica que, debido a $xy=ac+b^2+ib(c-a)$, $b=0\lor c=a$.

Si $b=0$ el resultado es trivial como $x,y\in\mathbb{R}$.

Si $c=a$$x=\overline{y}$. Pero entonces claramente $$x^w+y^w=x^w+\overline{x}^w=\overline{x^w+\overline{x}^w}=\overline{x^w+y^w},$$ donde el centro de la igualdad tiene por simetría.

Pero, a continuación, debe ser real, como la única números complejos satisfacer $z=\bar{z}$ son reales.

Nota: para qué/cuándo se nos permite escribir $x^w=\overline{\bar{x}^w}$ se refieren a @6005 la respuesta