Si $28a + 30b + 31c = 365$ entonces cuál es el valor de $a +b +c$ ?

Question

Pregunta: Para 3 enteros no negativos $a, b, c$ ; si $28a + 30b + 31c = 365$ cuál es el valor de $a +b +c$ ?

Cómo lo abordé : Empecé inmediatamente a romperlo en esta forma al verlo :

$28(a +b +c) +2b +3c = 365 .......(1)$ $30(a +b +c) -2a +c = 365 .......(2)$ $31(a +b +c) -b -3a = 365 .......(3)$

Y entonces descubro que

$365 = 28*13 + 1......(1')$ ; $365 = 30*12 + 5......(2')$ $365 = 31*11 + 24......(3')$

Ahora bien, como vemos (1) y (1') así como (3) y (3') o incluso ecuaciones $2$ y $2'$ no se combinan de forma congruente, así que me encuentro con un callejón sin salida.

mi problema : ¿Cómo debo enfocar estos problemas en los que no se nos dan otras ecuaciones o datos? Básicamente estoy preguntando cuáles son algunas maneras de obtener una solución para este problema.

Answer 1

Un camino más directo hacia $a+b+c = 12$ :

Escriba $x=a+b+c$ . En particular, la última ecuación implica $31 x \ge 365$ así que $x>11$ . Por otro lado, la primera ecuación es $28x + 2b + 3c = 365$ . Si cualquiera de los dos $b$ o $c$ es distinto de cero, lo que significa que $28x < 364$ así que $x < 13$ . Y $b=c=0$ no es posible porque $365$ no es divisible por $28$ .

Añadido: : para ser justos debería completar la prueba... $x=12$ significa $2b + 3c = 29$ . $c$ debe ser impar y menor que $10$ para que pueda ser $1, 3, 5, 7, 9$ . Sustituir en $2b+3c = 29$ , entonces en $a+b+c = 12$ y conservar sólo las soluciones con valores no negativos $a$ .

Answer 2

La suma de $a,b,c$ es mayor que $11$ porque $31(11) = 341 < 365.$

La suma tiene que ser inferior a $14$ porque $28(14) = 406 > 365$ .

Tampoco puede ser $13$ porque, aunque $28(13) = 364 < 365$ sólo podemos intercambiar un $30$ o $31$ para uno de los $28$ 's, y esto nos pone sobre $365$ .

Por lo tanto, la suma es $12$ .

El valor de $c$ debe ser impar porque los otros dos términos deben ser pares, y la suma es impar. Comprobemos cada valor impar de $c$ tal que $0 \leq c \leq 12$ .

$c=11$ no funciona porque un $28$ o $30$ nos pone por encima de $365$ .

$c=9$ puede funcionar. $31(9) = 279$ y $365-279 = 86$ . $28(2) + 30 = 86,$ así que $(a,b,c) = (2,1,9)$ es una solución.

$c=7$ funciona un poco por inspección: Siete meses han $31$ días, cuatro han $30$ y uno tiene $28$ que en total $365$ días. Así que $(1,4,7)$ también es una solución.

$c=5$ también funciona. $31(5)=155$ y $365-155= 210$ que es $30(7)$ . Así que $(0,7,5)$ es una tercera solución.

$c=3$ no funciona porque $365-3(31) = 272$ que es mayor que $30(9)$ .

$c=1$ tampoco funciona, porque $365-31 = 334 > 30(11)$ .

Así que, tres soluciones: $(2,1,9), (1,4,7), (0,7,5).$

Answer 3

Su ecuación (2) debería decir $$ 30(a+b+c) - 2a + c = 365. $$ Tenga en cuenta que esto implica $$ c- 2a \equiv 5 \mod 30. $$ De hecho, ahora lo reclamo, $c-2a = 5$ . Esto implicaría que $30(a+b+c)+5=365$ o que $a+b+c = 12$ .

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Como sabemos que $c-2a\equiv 5\mod 30$ basta con demostrar que $-25< c-2a < 35$ para concluir que $c-2a = 5$ . El límite superior es fácil, ya que $$31c\le 365\implies c\le 11\implies c-2a\le 11 < 35$$ como $a$ no es negativo. Para obtener el límite inferior, observamos que $$ 28a\le 365\implies a\le 13.$$ Además, si $a=13$ entonces $28\times 13 + 30b+31c = 365\implies 30b+31c = 1$ , lo que es claramente imposible para un $b$ y $c$ . Así, $a\le 12$ y por lo tanto $$ c-2a\ge 0 - 2(12) = -24 >-25 $$ desde $c$ es también no negativo. Por lo tanto, $-25 < c-2a < 35$ y combinado con el hecho de que $c-2a\equiv 5\mod 30$ concluimos que $c-2a = 5$ , según se desee.

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Utilizando el hecho de que $c-2a = 5$ También podemos resolver las posibles soluciones. Sustituyendo $c = 2a+5$ en la ecuación original da como resultado \begin{align} 28a+30b+31(2a+5) &= 365 \\ \implies 28a + 30b + 62a + 155 &= 365 \\ \implies 90a + 30b &= 210 \\ \implies 3a + b &= 7. \end{align} Así, vemos que \begin{align} a = 0 &\implies b = 7, c = 5 \\ a = 1 &\implies b = 4, c = 7 \\ a = 2 &\implies b = 1, c = 9. \end{align} Si $a\ge 3$ entonces $b<0$ . Por lo tanto, concluimos que $(0,7,5)$ , $(1,4,7)$ y $(2,1,9)$ son las únicas soluciones al problema.

Answer 4

No estoy seguro de lo que quieres decir al combinar (2) y (2'). Sin embargo, he aquí una posible continuación.

Las ecuaciones (1) y (1') implican que $a+b+c<14$ . Las ecuaciones (3) y (3') implican que $a+b+c>11$ . Si $a+b+c=13$ entonces (2) da como resultado $2a-3c=25$ o $a\geq 13$ De ahí que $a=13$ , $b=0$ y $c=0$ que no forman una solución. Es decir, $a+b+c=12$ debe aguantar. Es fácil ver que $$(a,b,c)=(1,4,7)+t(-1,3,-2)$$ con $t\in\mathbb{Z}$ son las únicas soluciones enteras de $28a+30b+31c=365$ y $a+b+c=12$ . Para las soluciones no negativas-enteras, $t\in\{-1,0,+1\}$ son las únicas posibilidades, dando tres triples $(a,b,c)=(2,1,9)$ , $(a,b,c)=(1,4,7)$ y $(a,b,c)=(0,7,5)$ .