Centro de círculo dado 4 puntos

Question

He estado luchando tratando de entender cómo encontrar el centro de un círculo dado 4 puntos en la circunferencia $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$

Por favor ayúdame. No entiendo cuando el polígono creado no es un rectángulo por ejemplo..

Answer 1

La pregunta establece que todos los puntos están en la circunferencia. Tres puntos no colineales ya determinan un círculo único que pasa por ellos, por lo que se pueden elegir tres de los cuatro puntos dados y el cuarto automáticamente estará en el círculo.

El problema de encontrar el centro del círculo a través de tres puntos es bien conocido. Wikipedia en sí misma da la siguiente solución $(R_x,R_y)$ para los tres puntos $(A_x,A_y), (B_x,B_y), (C_x,C_y)$:

$$R_x = \left[(A_x^2 + A_y^2)(B_y - C_y) + (B_x^2 + B_y^2)(C_y - A_y) + (C_x^2 + C_y^2)(A_y - B_y)\right] / D$$ $$R_y = \left[(A_x^2 + A_y^2)(C_x - B_x) + (B_x^2 + B_y^2)(A_x - C_x) + (C_x^2 + C_y^2)(B_x - A_x)\right]/ D$$ $$D = 2\left[A_x(B_y - C_y) + B_x(C_y - A_y) + C_x(A_y - B_y)\right]$$

Sin embargo, no hay un círculo que pase por cuatro o más puntos en posición general. Por ejemplo, si se dan cuatro puntos como $(0,0),(2,0),(0,2)$ y $(-1,-1)$, los tres primeros puntos determinan un círculo con centro $(1,1)$ y radio $\sqrt2$, pero el cuarto punto no está en este círculo. Si surge esto, lo mejor que puedes hacer es minimizar la suma de distancias de cada punto al círculo en sí mismo, lo cual se convierte en un problema de ajuste por mínimos cuadrados. También hay muchos recursos disponibles para esto, como este de Stony Brook.

Answer 2

Dato curioso: El tipo de cuadrilátero (para mayor facilidad, dibuja el cuadrilátero convexo definido por los cuatro puntos cuestionados) se llama cíclico. En los Elementos de Euclides, Libro 3, Proposición 22, se demuestra que un cuadrilátero es cíclico si y sólo si sus ángulos opuestos son suplementarios.

De cualquier manera, un cuadrilátero convexo es cíclico si y sólo si sus bisectores perpendiculares son concurrentes, en cuyo caso la intersección es el circuncentro (el centro del círculo).

Los cuatro puntos dados en la circunferencia definen de manera única un cuadrilátero cíclico convexo, así que simplemente toma los bisectores perpendiculares y observa la intersección.

Answer 3

Cuatro puntos constituyen un cuadrilátero. Si estos cuatro puntos están en el mismo círculo, el cuadrilátero formado se llama cuadrilátero cíclico. Un cuadrilátero cíclico puede ser pero no necesariamente un rectángulo. Un cuadrilátero cíclico tiene la propiedad de que la suma de cada par de ángulos interiores opuestos es de $180^0$.

Para este problema, encontrar el centro no requiere saber si los 4 puntos forman un rectángulo o no. El centro está justo en el punto de intersección de las bisesectrices perpendiculares de cualquier par de cuerdas de ese círculo.

1. Desde cualquier par de puntos dados (digamos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2))$, encuentra la pendiente correspondiente ($m_{AB}$) y el punto medio $(M_{AB})$.

2. Usando la información anterior para obtener $(L_{AB})$, la ecuación de la bisección perpendicular (que pasa por $M_{AB}$).

3. Repite el proceso anterior para obtener $(L_{BC})$.

4. Las coordenadas del centro se obtienen resolviendo las ecuaciones simultáneas $(L_{AB})$ y $(L_{BC})$.

Nota: Tres puntos (no colineales) determinan de forma única el centro del círculo que pasa por ellos. El cuarto punto probablemente se usa para verificar la corrección de la ecuación del círculo formado.

Answer 4

Suponiendo que los puntos no sean colineales, para un procedimiento muy simple, considera la ecuación general de cónicas el círculo $$x^2+y^2+a x+b y +c=0$$ y construye, para cada punto de datos, la ecuación $$f_i=x_i^2+y_i^2+a x_i+b y_i+c=0$$ Esto luego se reduce a $n$ ecuaciones $$a x_i+b y_i+c=-(x_i^2+y_i^2)$$ y te enfrentas a una simple regresión multilinear que te dará los parámetros $a, b, c$.

Teniendo estos números, al menos como estimaciones, simplemente completa el cuadrado $$x^2+y^2+a x+b y +c=(x+\frac a2)^2-\frac{a^2}4+(y+\frac b2)^2-\frac{b^2}4+c$$ es decir $$(x+\frac a2)^2+(y+\frac b2)^2=\frac{a^2+b^2-4c}4$$ lo que sitúa al centro en $(-\frac a2,-\frac b2)$ con un radio igual a $\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}} 2$.

Como se mencionó, esta es una solución muy simplista pero sin importar cuál sea la función objetivo que desees minimizar, te dará valores iniciales muy buenos para el proceso de optimización.

Tomando la documentación de NLREG, una función objetivo más rigurosa sería $$F(a,b,r)=\sum_{i=1}^n \left(\sqrt{(x_i-a)^2+(y_i-b)^2}-r\right)^2$$ donde $(a,b)$ son las coordenadas del círculo y $r$ el radio. Como ves, el problema es mucho más complejo y requeriría optimización.

Answer 5

A menos que elimines/descartes uno de los cuatro puntos dados y no tengas un círculo único con un centro y un radio. Esto está sobredeterminado pero es consistente.