Equivalencia de sesgar-matrices simétricas

Question

Deje $N=\{1,\dots,n\}$ $A,B$ $n\times n$ sesgar simétrica matrices tales que es posible permutar algunas filas y columnas de $A$ conseguir $B$. En otras palabras, para algunos permutaciones $g,h: N\rightarrow N$, $$A_{i,j}=B_{g(i),h(j)}$$ para todos los $1\leq i,j\leq n$. Deben existir una permutación $f:N\rightarrow N$ tal que $$A_{i,j}=B_{f(i),f(j)}$$for all $1\leq i,j\leq n?$

Por ejemplo, vamos a $$A=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} $$ Si cambiamos las filas y también cambiar las columnas, se obtiene a partir de a$A$$B$. Y existe una permutación $f$ $f(1)=2,f(2)=1$ tal que $A_{i,j}=B_{f(i),f(j)}$ todos los $1\leq i,j\leq 2$.

Existe un ejemplo con $g\neq h$. Vamos $$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Una posibilidad para $g,h$ $g(i)=i$ para todos los $i$, $h(1)=2,h(2)=1,h(3)=4,h(4)=3$. En este caso podemos dejar $f(1)=2,f(2)=1,f(3)=3,f(4)=4$.

Answer 1

Este es un contraejemplo. Deje $O,I,J$ $2\times 2$ matrices $$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},$$ respectively. Define the two $6\times6$ matrices $$A=\begin{pmatrix}O&I&I\\-I&O&I\\-I&-I&O\end{pmatrix},\,\,\,\,\, B=\begin{pmatrix}O&J&J\\-J&O&J\\-J&-J&O\end{pmatrix}.$$ We see that $B$ can be obtained by applying the permutation $(12)(34)(56)$ to the rows of $A$. On the other hand, there is no permutation $\sigma$ such that $A_{ij}=B_{\sigma(i)\sigma(j)}$. Unfortunately, I have no intuitive explanation why there is no such $\sigma$, but you can check this fact here (this is A) and here (this is B) --- there is no $\sigma$ sending the eigenvectors of $A$ to the eigenvectors of $B$.

Answer 2

Aquí es una explicación simple de por qué las matrices $A$ $B$ en heptagon la respuesta no permutación-similar. Suponer lo contrario. A continuación, sus partes deben ser permuation-similar demasiado, es decir, $$ A_+=\pmatrix{0&I&I\\ 0&0&I\\ 0&0&0} \ \sim\ B_+=\pmatrix{0&J&J\\ 0&0&J\\ 0&0&0} $$ a través de algunos de permutación. Esto es imposible, ya que el grafo dirigido representado por la matriz de adyacencia $A_+$ se compone de los caminos $1\to3\to5$, $1\to5$, $2\to4\to6$ y $2\to6$, por lo que un nodo puede llegar a la mayoría de los dos otros nodos diferentes, mientras que $B_+$ se compone de los caminos $1\to4\to5$, $1\to6$, $2\to3\to6$ y $2\to5$, de forma que cada nodo 1 y nodo 2 puede llegar a tres otros distintos nodos.

Alternativamente, si $A_+$ es permuataion similar a $B_+$, los gráficos representados por estas dos matrices de adyacencia debe ser isomorfo. Así que, si le damos la vuelta a cada borde de un grafo, los dos grafo gráficos deben ser isomorfos. Sin embargo, esto es imposible, ya que el grafo no dirigido representado por $A_++A_+^T$ tiene dos separe los componentes conectados a $\{1,3,5\}$$\{2,4,6\}$, pero $B_++B_+^T$ es un grafo conexo.