¿Por qué es $x + x = 2x$ pero $X + X \neq 2X$ ?

Question

En esta página central de AP Variables aleatorias frente a variables algebraicas El autor, Peter Flanagan-Hyde, distingue entre variables algebraicas y aleatorias.

En parte dice

$x + x = 2x$ pero $X + X \neq 2X$

-- De hecho, es el subtítulo del artículo.

¿Cuál es la diferencia básica entre una variable algebraica y una variable aleatoria?

Answer 1

[Una versión anterior de la pregunta pedía una respuesta que evitara por completo las matemáticas; esta respuesta era un intento de dar alguna motivación intuitiva, a un nivel similar al del documento por el que se preguntaba].

La página enlazada se equivoca cuando dice que $X+X\neq 2X$ .

En el ejemplo $X$ es una variable aleatoria que representa el número que aparece en la cara de un dado, el resultado de un experimento como "lanzar un dado de seis caras una vez y registrar en el número que aparece en la cara del dado".

Así que tiras un dado y escribes lo que has visto. El número que registres es $X$ ... así que $X+X$ representa el resultado sumado a sí mismo. Si tiras otro dado, el número que hubieras anotado antes no cambia.

Más adelante en la página dice:

Sin embargo, cuando se lanzan dos dados, los resultados son diferentes. Llamamos a la variable aleatoria que representa los resultados del proceso de los dos dados $T$ (por "dos"). Podríamos escribir $T = X + X$ . Esta ecuación representa el hecho de que $T$ es el resultado de dos instancias independientes de la variable aleatoria $T$

El final de esa cita es presumiblemente un error tipográfico, quieren decir $X$ no $T$ allí (ya que si fuera $T$ sólo dijeron $T$ era el resultado de dos instancias de sí mismo). Pero con ese reemplazo sigue siendo incorrecto.

Si tienes dos instancias independientes del experimento (tira un dado, anota el número que aparece) estás tratando con dos diferentes variables aleatorias.

Así que imagina que tengo un dado rojo y un dado azul. Entonces puedo decir "Que el resultado del dado rojo sea $X_1$ y el resultado en el dado azul sea $X_2$ ". Entonces podemos seguir el ejemplo de esa página enlazada definiendo $T$ para ser la suma de los números que aparecen en esos dos dados, así que $T=X_1+X_2$ . Si los dados y el proceso de lanzamiento son justos, entonces la distribución de $X_1$ y $X_2$ son los mismos, pero $X_1$ y $X_2$ -- las variables aleatorias -- son distintas.

[Hay una excelente discusión de whuber sobre las variables aleatorias (y sus sumas) aquí y el concepto de variables aleatorias se trata con un poco más de detalle (aunque en lugares más técnicos) aquí . Te recomiendo que al menos leas la respuesta en el primer enlace].

Este problema ha venido porque el autor ha confundido la variable aleatoria con su distribución. Puedes verlo aquí:

En este caso, los alumnos piensan en la variable aleatoria X como si representara un único valor desconocido, del mismo modo que piensan en las variables algebraicas. Pero X se refiere realmente a la distribución de valores posibles y a las probabilidades asociadas.

Confunde explícitamente la variable aleatoria con su distribución.

De hecho, las variables aleatorias son, en muchos aspectos, como otras variables algebraicas y a menudo pueden manipularse de la misma manera. En particular, una sola variable aleatoria univariante no representa dos cantidades distintas (como el resultado de dos tiradas de dados diferentes) al mismo tiempo. $X+X$ realmente es $2X$ .

Answer 2

La página a la que has enlazado es totalmente errónea. Escribe $T = X + X$ a pesar de que afirma que está tirando dos dados independientes. Esto significa que debería escribir $T = X + Y$ donde $X$ y $Y$ son los resultados de los dos dados.

Llamando a ambos $X$ es totalmente errónea, ya que la variable aleatoria $X$ debe ser la realización de observar $one$ lanzamiento de dados, no dos o más.

Para una variable aleatoria es cierto que $X+X=2X$

Answer 3

Así pues, abordemos primero esta cuestión: "¿Cuál es la diferencia básica entre una variable algebraica y una variable aleatoria?

Una variable aleatoria $X$ no es en absoluto una variable algebraica. Formalmente, se define como una función de un espacio de probabilidad $\Omega$ a $\mathbb R$ .

Vale... Lo que realmente significa es que se realizan experimentos aleatorios (por ejemplo, lanzar un dado, elegir un humano al azar), y se realizan mediciones sobre estos experimentos (por ejemplo, número en la cara superior del dado, altura, sexo, nivel de colesterol del humano). El conjunto $\Omega$ es el conjunto de todos los experimentos posibles. En un experimento concreto $\omega\in\Omega$ , usted hace una medida $X(\omega)$ por lo que formalmente es una función de $\Omega$ a $\mathbb R$ .

Ahora en general nos olvidamos totalmente de $\Omega$ . Las variables aleatorias se definen en términos de su ley de probabilidad. En el caso de un dado justo, basta con decir

• $\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$ para $k=1,\dots,6$ (la probabilidad de $X$ igual a $k$ es 1/6 para $k$ de 1 a 6),

en lugar de

• $\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$ (el conjunto de lanzamientos de dados en los que la medida $X$ - cara superior - es $k$ tiene una probabilidad de 1/6)...

Es más sencillo. Incluso puede evitar totalmente molestar a los estudiantes con $\Omega$ .

Espero que esto arroje algún tipo de luz.

Ahora bien, lo que este tipo quiere decir con $X + X \ne 2X$ no es que la suma de tal medida con ella misma no es dos veces esta medida - por desgracia, es lo que escribe. Lo que quiere decir es que la suma de dos medidas de este tipo, realizadas en experimentos diferentes, no tiene la misma ley que el doble de una medida. Esto podría escribirse como $X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$ (el hecho de que $X_1$ y $X_2$ tengan la misma distribución no implica que $X_1 + X_2$ tiene la misma distribución que $2 X_1$ ).