"Difundir" una suave, conectada $\mathbb{C}$-esquema de la finitos tipo.

Question

He estado leyendo el artículo "Una conjetura en la aritmética de la teoría de ecuaciones diferenciales" de Katz y tengo una duda con respecto a la "propagación". Mi pregunta es sobre el párrafo siguiente, en la sección VI, que dice:

Deje $X$ estar conectada, liso $\mathbb{C}$-esquema de la finitos tipo. Es una norma de la que nos podemos encontrar en un sub-anillo $R\subseteq\mathbb{C}$ que es finitely generado como un $\mathbb{Z}$-álgebra, y conectado a un suave $R$- $\mathbb{X}/R$ finitos tipo, con geométricamente conectado fibras, de la que podemos recuperar la $X/\mathbb{C}$ al hacer la extensión de escalares $R\hookrightarrow\mathbb{C}$.

No entiendo por qué se tiene y no fue capaz de encontrar ninguna referencia concretos.

Mi intento fue, primero, tratar de entender esta forma local, es decir, para la coordenada anillo de $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_r)$ de una variedad afín $\mathbb{C}$ y yo que pensaba que uno puede tomar $R$ como el anillo obtenidos por contigua a la de los coeficientes de la $f_i$$\mathbb{Z}$. Sin embargo, en otro artículo, "Nilpotent conexiones y la monodromy teorema: aplicaciones de un resultado de Turritin", Katz considera el siguiente ejemplo

Por ejemplo, la de Legendre de la familia de curvas elípticas, dada en coordenadas homogéneas por $$Y^2 Z - X(X-Z)(X-\lambda Z) \;\;\text{ in }\mathrm{Spec}\left(\mathbb{C}\left[\lambda,\dfrac{1}{\lambda(1-\lambda)}\right]\right)\times\mathbb{P}^2$$ is (projective and) smooth over $\mathrm{Spec}\left(\mathbb{C}\left[\lambda,\dfrac{1}{\lambda(1-\lambda)}\right]\right)=\mathbb{A}^1\smallsetminus\{0,1\}$. A natural thickening is just to keep the previous equation, but replace $\mathbb{C}\left[\lambda,\dfrac{1}{\lambda(1-\lambda)}\right]$ by $\mathbb{Z}\left[\lambda,\dfrac{1}{2\lambda(1-\lambda)}\right]$, and replace $\mathbb{C}$ by $\mathbb{Z}[1/2]$.

y en ese ejemplo se agrega una más que los coeficientes de a $\mathbb{Z}$.

Edit: La parte principal que me molesta en esta construcción es que yo no veo por qué las fibras son geométricamente conectado. Cuando vi la de Legendre ejemplo familiar pensé que tal vez uno sea necesario para agregar más cosas para el anillo. Cualquier ayuda para saber cómo hacerlo?

Gracias de antemano por las sugerencias, de referencia o algo que me ayude a entender mejor este.

Answer 1

Para el caso general, usted necesita saber algunos de constructibility y la apertura de los resultados en EGA. Pero permítanme explicar dos "bebé" de los casos que espero dejar en claro lo que está pasando.

${\color{red}{\text{Example 1:}}}$ Nos da un monic polinomio $f(X)$ en una variable $X$, con coeficientes en $\mathbb{C}$, y con distintas raíces. Queremos encontrar un finitely generado sub-anillo $R_0$ $\mathbb{C}$ y un monic polinomio $f_0(X)$ con coefficieints en $R_0$ tal que después de la extensión de escalares de$R_0$$\mathbb{C}$, conseguimos que nuestro original polinomio $f(X)$, y por cada homomorphism de $R_0$ a un campo, se $k$, el polinomio de más de $k$ podemos obtener mediante la aplicación de la homomorphism a los coeficientes de $f_0$ tiene distintas raíces (en una clausura algebraica de $k$).

${\color{blue}{\text{First method:}}}$ Inicio con$$R_1 := \mathbb{Z}[\text{all the coefficients of }f].$$The discriminant $\Delta_1$ of $f_1$ is an element of $R_1$ which is nonzero in $\mathbb{C}$, so certainly nonzero in $R_1$. Take $R_0$ to $R_1[1/\Delta_1]$. What we have achieved is that the discriminant is now an invertible element of $R_0$.

${\color{blue}{\text{Second method:}}}$ Empezar de nuevo con $R_1$ anterior. Sabemos que más de $\mathbb{C}$, $f$ y su derivado $f'$ generar la unidad ideal en $\mathbb{C}[X]$. Explícitamente, existen complejos polinomios $A$ $B$ tal que $Af + Bf' = 1$. Ahora tocan a $R_1$ todos los coeficientes de ambos $A$$B$. A través de este $R_0$, $f$ y $f'$ generar la unidad ideal en $R_0[X]$.

${\color{red}{\text{Example 2:}}}$ Empezamos con una nonsingular hipersuperficie en afín $n$-espacio, definido por una ecuación de $f(X_1, \ldots, X_n) = 0$. El nonsingularity significa que en $\mathbb{C}[X_1, \ldots, X_n]$, $f$ y sus derivadas parciales $df/dX_i$ generar la unidad ideal. Entonces existen polinomios $A$, $B_1$, $B_2$, $\ldots$ , $B_n$ en $\mathbb{C}[X_1, \ldots, X_n]$ tal que$$Af + \sum_i B_i {{df}\over{dX_i}} = 1.$$ Okay, start with$$R_1 := \mathbb{Z}[\text{coefficients of }f],$$then pass to$$R_0 := R_1[\text{all coefficients of }A\text{ and all the }B_i].$$Once you have a spreading out, say $X_1/R_1$ with structure map $\pi$ which is now smooth and whose $\mathbb{C}$-fiber is geometrically connected (which for a smooth scheme is the same as geometrically irreducible), you can use the fact for $n := \text{la relación de la dimensión de }X_1/R_1$, and $\ell$ a prime invertible in $R_1$ (if there isn't one pass to $R_1[1/\ell]$ for your favorite $\ell$), $R^{2n}\pi_!(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$ is constructible, so "locally constant" or lisse, on a dense open set of $\text{Spec}\,R_1$; Its rank at each point is the number of geometrically irreducible components of the fiber: as this rank is one at the point corresponding to $\mathbb{C}$ (a point lying over the generic point), this rank is one on an open dense set, so certainly over a set of the form $R_1[1/g]$ for some nonzero element $g$ in $R_1$.

Answer 2

Creo que he contestado a mi pregunta.

El Nagata compactification teorema muestra que si $X$ está conectado, liso $\mathbb C$-esquema de la finitos tipo, no existe una adecuada $\mathbb C$- $\overline{X}$ y una inmersion $j:X\to\overline{X}$$\mathbb C$. Por lo tanto, $\overline{X}$ es una unión finita de coordinar los anillos de afín variedades y se puede considerar lo $R$ $\mathbb Z$- álgebra generada por los coeficientes de todos los polinomios de la definición de estas variedades. Si pasamos de salida de cada variedad, más de $R$ como en la cuestión, entonces, un procedimiento de encolado nos da un conectada, liso $R$- $\overline{\mathbb{X}}$ finito de tipo tal que la extensión de escalares $R\hookrightarrow\mathbb C$ le da la espalda a $\overline{X}$.

edit: esto estaba mal, como compactifying puede producir singularidades. El $R$-esquema obtenido $\mathbb{X}$ es adecuado. El argumento de si $R$ puede ser elegido tal que $\overline{\mathbb{X}}$ también es plana.

Ahora, definir $\mathbb{X}$ como la imagen de $X$ a través de la composición de mapa de $X\stackrel{j}{\to}\overline{X}\to\overline{\mathbb{X}}$, el cual está conectado, liso $R$-esquema de la finitos tipo. La afirmación con respecto a la geometría de la conectividad de las fibras de la siguiente manera a partir de este post http://mathoverflow.net/questions/201016/connectedness-of-fibers-for-flat-proper-morphism desde $\overline{\mathbb{X}}$ es un buen $R$-y el régimen genérico de fibra es geométricamente conectado (ya que es $\overline{X}$). Porque cada fibra de $\mathbb{X}$ es simplemente el pullback a lo largo de $j$ de las fibras de $\overline{\mathbb{X}}$ la conexión de la siguiente manera.

Es esta bien? Gracias una vez más.