¿Por qué "se encuentra entre" una noción primitiva de Hilbert Fundamentos de la Geometría?

Question

He leído esta pregunta: Hilbert Fundamentos de la Geometría Axioma II, 1 : ¿por Qué es esto relevante? y su respuesta por Eric Wofsey. En esta respuesta, se afirma que "se encuentra entre" una noción primitiva de Hilbert Fundamentos de la Geometría.

¿Por qué es una noción primitiva? No podemos definir que un punto de $B$ está entre los puntos de $A$ $C$ si $AB < AC$$BC < AC$? O tal vez que un punto de $B$ está entre los puntos de $A$ $C$ si $AC=AB+BC$?

Answer 1

Las "mentiras" entre la noción es la base utilizada por Hilbert para definir una "orden" entre los puntos de una línea recta. Los axiomas que definen tal noción se llaman Axiomas de Orden en su libro, y presentó así:

Los axiomas de este grupo de definir la idea expresada por la palabra "entre", y hacer posible, sobre la base de esta idea, una orden de la secuencia de los puntos sobre una línea recta, en el plano y en el espacio. Los puntos de una línea recta que tiene una cierta relación del uno con el otro, que la palabra "entre" sirve para describir.

Así que, obviamente, podemos sustituir estos axiomas con algún otra definición de orden, como, por ejemplo, en Birkoff del axiomas, donde el orden es introducido a través de los números reales. Pero la importancia de Hilbert axiomatization de la geometría es exactamente que no se utilizan los números reales.

Answer 2

En realidad, "intermediación" puede ser definido a partir de Hilbert otras nociones primitivas, en dos pasos:

1. Para los puntos de $A, B, C$ " $A$ está más cerca de a$B$$C$", anotada $AB\le AC$, iff para cada línea de $\ell$ que contiene $B$, $X$ $\ell$ tal que $AX=AC$.

2. Para los puntos de $A, B, C$ "$B$ entre $A$ $C$ " iff los puntos son colineales, y $AB\le AC$$CB\le CA$.

Hilbert podría haber formulado sus axiomas basados en estas definiciones (visto como abreviaturas) en lugar de hacer "entre" una noción primitiva. Sin embargo, él probablemente no han considerado que una mejora. Probablemente él no era particularmente enfocado en minimizar el número de primitivas nociones a cualquier costo, y habría habido varios costos:

1. Los axiomas mismos sería más complejo para el estado, y menos claramente cierto acerca de la pre-formal intuitiva de la geometría.

2. Lo que puede ser deseable o interesante para ser capaz de acordonar la parte de la teoría de que es invariante bajo (nonsingular) afín de espacio, pero que no puede ser hecho si intermediación (que es un concepto afín) eran dependientes de la congruencia (que no lo es).

3. La geometría en una dimensión no sería una cuestión de simplemente restringir su atención a una sola línea y los puntos en los que, debido a que la definición de $AB\le AC$ depende de la posibilidad de que $\ell$ puede ser diferente de la línea de $AB$.

4. No estaría claro si Hilbert es un poco flojo, la "exhaustividad" axioma (que básicamente afirma que sólo queremos considerar máxima de los modelos de los otros axiomas) funcionaría en esta configuración. Al menos a priori uno podría imaginar un modelo que declaró $A$ a estar más cerca de $B$ $C$ simplemente porque una de las líneas a través de las $B$ tenía lagunas en lo que le permitió pasar a través del círculo de $AC$ sin intersección-y esto nos podría haber profundamente no estándar de los modelos que fueron, no obstante, la máxima.

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(Edit: artículo de Wikipedia sobre Tarski de la geometría sugiere la siguiente más simple gota-en los reemplazos para las definiciones anteriores, que evite hablar sobre líneas:

1. Para los puntos de $A, B, C$ $AB\le AC$ fib para cada punto de $Z$ tal que $AZ=CZ$, hay un $X$ tal que $AX=BX=CZ$.

2. Para los puntos de $A, B, C$ "$B$ entre $A$ $C$ " iff $AX\le AB$ $CX\le CB$ implica que el $X$ debe ser el punto de $B$.

Los costos mencionados siguen siendo válidos para estos).

Answer 3

Afín a la geometría puede ser hecho a través de un campo arbitrario, incluyendo finito campos donde uno no puede tener un significativo noción de orden.

Por otro lado, si uno está trabajando en el campo $\mathbb{R}$ por supuesto uno tiene una noción de orden dada por el orden habitual en los reales.

Hilbert está interesado en el desarrollo axioma de los sistemas que se describen más general de los marcos que son, por un lado, no se limita a los números reales, y en el otro no dependen de tener un campo de fondo. Para decirlo de otra manera, la relación de intermediación es más general que el de orden.

Answer 4

¿Por qué [la relación "entre"] una noción primitiva? No podemos definir que un punto de $B$ está entre los puntos de $A$ $C$ si $AB < AC$$BC < AC$? O tal vez que un punto de $B$ está entre los puntos de $A$ $C$ si $AC=AB+BC$?

Esto supone que una función de distancia es dado cuyos valores se pueden ordenar. Sin el entre-ness axioma de la geometría podría ser coordinatized por un no-hacer pedidos de campo, tales como los números complejos, y un orden de las distancias que podrían romper la correspondencia entre los puntos de un segmento de línea y las distancias. Y si las distancias corresponden a los puntos en una línea, sin una orden de la línea no hay tricotomía y que no existe siempre una permutación de cualquier $3$ puntos en una recta de la que uno es "entre" los demás.