Una conjetura acerca entero polinomios y números primos

Question

Conjetura:

Para todos los conjuntos de no constante polinomios $\{f_1,\dots,f_n\}\subset \mathbb Z[X]$, $m\in\mathbb N$ tal que $f_k(m)\notin\mathbb P$, para todos los $1\leq k\leq n$. Donde $\mathbb P$ es el conjunto de números primos.

Esto puede ser demostrado?

El original de la conjetura con $\mathbb R[X]$ le parece demasiado difícil y puede depender de un abrir conjetura.

Answer 1

La conjetura es verdadera, permitiendo incluso para polinomios en $\Bbb C[x]$.

Como primer paso, nos muestran que si $f(x)\in\Bbb C[x]$ toma infinitos valores enteros en las entradas de $x\in\Bbb N$, a continuación, sus coeficientes debe ser en realidad (real) de los números racionales. (Esto reduce el problema de$\Bbb C[x]$$\Bbb Q[x]$, ya que cualquier polinomio en $\Bbb C[x] \setminus \Bbb Q[x]$ sólo toma un número finito de primos valores y por lo tanto puede ser eliminado del conjunto de polinomios sin cambiar la conjetura de la propiedad.)

De hecho, vamos a $f(x) \in \Bbb C[x]$ tienen un grado $d\ge1$ (constante polinomios de ser trivial para este hecho), y escribo como $f(x) = c_d x^d + c_{d-1}x^{d-1} \cdots + c_1 x + x_0$. Supongamos que $n_0,\dots,n_d\in\Bbb N$ son tales que $v_0=f(n_0),\dots,v_d=f(n_d)$ son todos los números enteros. Los coeficientes pueden ser recuperados a partir de estas salidas, ya que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales \begin{align*} n_0^d c_d + n_0^{d-1} c_{d-1} + \cdots + n_0 c_1 &= v_0-c_0 \\ n_1^d c_d + n_1^{d-1} c_{d-1} + \cdots + n_1 c_1 &= v_1-c_0 \\ \vdots& \\ n_d^d c_d + n_d^{d-1} c_{d-1} + \cdots + n_d c_1 &= v_d-c_0. \end{align*} El coeficiente de la matriz en el lado izquierdo es una matriz de Vandermonde, por lo que es invertible, por otra parte, todas sus entradas son números enteros, y por tanto su inversa tiene racional entradas. Por lo tanto, el vector de $c_j$s, siendo el producto de la inversa de la matriz con los vectores de $(v_j-c_0)$s, ha racional entradas.

Ahora vamos a $f_1(x),\dots,f_k(x)\in\Bbb Q[x]$, y elegir un gran común denominador $A$ de sus coeficientes, por lo que el $g_1(x)=Af_1(x),\dots,g_k(x)=Af_k(x)\in\Bbb Z[x]$. Vamos a demostrar que no es un número compuesto $B$ con la siguiente propiedad: hay infinitamente muchos enteros $n$ tal que $AB$ divide cada una de las $g_j(n)$. En particular, para estos infinitamente muchos entero entradas, cada una de las $f_j(n)$ es un múltiplo entero de $B$ y por lo tanto no es primo.

Utilizamos el siguiente hecho acerca de polinomios con coeficientes enteros: si $g(n_0)=v\ne0$, $g(n_0+mv)$ es un múltiplo de a $v$ para todos los enteros $m$. (Compruebe mediante la expansión de cada término con los coeficientes binomiales, o simplemente el uso de congruencias módulo $v$.)

Por lo tanto, vamos a $n_0$ ser un entero con cada una de las $|g_j(n_0)|\ge2$ (un polinomio no constante toma los valores de $-1,0,1$ sólo un número finito de veces). Deje $v_j = g_j(n_0)$ por cada $j$, y deje $V=v_1v_2\cdots v_k$. A continuación, cada una de las $g_j(n_0+mV)$ es un múltiplo de a $v_j$ para todos los enteros $m$. Por otra parte, con un número finito de excepciones, $g_j(n_0+mV)$ es un buen múltiples de $v_j$; y desde $|v_j|\ge2$, sin el adecuado varios de $v_j$ puede ser primer. Por lo tanto todos, pero un número finito de entradas de la forma $n_0+mV$ el rendimiento de todas las salidas compuesta, que es (más fuerte) lo que queríamos demostrar.