Determinar todos los polinomios reales con $P(0)=0$ y $P(x^2+1)=(P(x))^2+1$

Question

Encontrar todos los polinomios reales con $P(0)=0$ y $P(x^2+1)=(P(x))^2+1$

I' como una solución para este problema y la verificación de la prueba:

Mi prueba:

Sea $a_0=0$ y $a_{n+1}=a_n^2+1$ claramente $P(a_0)=a_0$ y si $P(a_n)=a_n$ entonces $P(a_{n+1})=P(a_n^2+1)=(P(a_n))^2+1=a_n^2+1=a_{n+1}$ . Así que $P(x)=x$ para infinitos valores de $x$ (porque $a_n$ es estrictamente creciente), por lo que $P$ es el polinomio de identidad, y claramente funciona.

Answer 1

Sea $P(x)=a_1x+a_2x^2+…..+a_nx^n$ sea un polinomio tal que $$P(x^2+1)=(P(x))^2+1$$ y $P(0)=0$ ( es inmediato que $P(1)=1$ ). Tenemos $$P(x^2+1)=\sum a_k(x^2+1)^k=\sum a_k\sum\binom{k}{ l}(x^2)^{k-l}$$ $$\\((P(x))^2+1=\sum a_k^2x^{2k}+2\sum a_ka_jx^{k+j}+1$$ De ello se deduce que el polinomio $$R(x)= \sum a_k\sum\binom{k}{ l}(x^2)^{k-l}-\left(\sum a_k^2x^{2k}+2\sum a_ka_jx^{k+j}+1\right)$$ debe ser idénticamente cero porque tiene más raíces que su grado por lo que todos los coeficientes deben ser cero.

Se puede observar que incluso para el segundo grado esto no es así y que la única posibilidad es $$\color{red}{P(x)=x}$$

$$***$$

Damos otra solución porque la comprobación sobre los coeficientes en la anterior no es inmediata

$$***$$

SEGUNDA SOLUCIÓN.-Es evidente que $P(x)=x$ va bien. Pon $$P(x)=x+Q(x)$$ para que
$$ P(x^2+1)=(P(x))^2+1\iff Q(x^2+1)=2xQ(x)+(Q(x))^2\qquad (*) $$ Tenemos de $(*)$ , $$ (Q(x))^2+2xQ(x)-Q(x^2+1)=0\iff Q(x)=-x\pm\sqrt{x^2+Q(x^2+1)}\qquad (**)$$

Tenga en cuenta que si $Q(x_0)=0$ entonces $Q(x_0^2+1)=0$

Debido a $P(0)=0\Rightarrow P(1)=1\Rightarrow P(2)=2\Rightarrow P(5)=5$ se tiene $Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(5)=0$ .

Se deduce de $(**)$ podemos deducir una infinidad de raíces para $Q(x)$ (por ejemplo $26,677$ y $458330$ las tres primeras deducidas de $Q(5)=0$ ).

En consecuencia $Q(x)=0$ para todos $x$ y $$P(x)=x$$ es la única solución.