Número de subcampos de los campos de división de $x^5-5$ en $\mathbb{Q}$ .

Question

Quiero encontrar el número de subcampos de campos de división de $x^5-5$ en $\mathbb{Q}$ .

1. Por el criterio Eisenstein, $x^5-5$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}.$

2. A continuación, el campo de división $K$ de $x^5-5$ es la extensión de Galois de $\mathbb{Q}$ .

3. Dejemos que $\zeta$ sea la quinta raíz primitiva. Entonces las raíces de $x^5-5$ consisten exactamente en $\zeta \root5\of5$ , $\zeta^2 \root5\of5$ , $\zeta^3 \root5\of5$ , $\zeta^4 \root5\of5$ , $\root5\of5$ . Así que $$K=\mathbb{Q}(\zeta \root5\of5, \zeta^2 \root5\of5, \zeta^3 \root5\of5, \zeta^4 \root5\of5) = \mathbb{Q}(\zeta,\root5\of5)$$

4. Desde $K=\mathbb{Q}(\zeta)\mathbb{Q}(\root5\of5)$ y $[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}] = 4 \mbox{ and } [\mathbb{Q}(\root5\of5):\mathbb{Q}]=5$ ,

   $$|Gal(K/F)|=[K:F]=5\cdot 4=20.$$

Por lo tanto, $Gal(K/F)$ es un grupo de orden 20.

Así que si puedo encontrar el número de subgrupos de $Gal(K/F)$ , entonces puedo encontrar el número de subcampos del campo.

¿Qué debo hacer?

Answer 1

Desde $K=\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[5]{5})$ , un elemento $\sigma\in\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ está completamente determinado por lo que $\sigma(\zeta)$ y $\sigma(\sqrt[5]{5})$ son. Tenga en cuenta que cualquier $\sigma\in\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ debe tener $$\sigma(\zeta)=\zeta^k\text{ for some }1\leq k\leq 4,\qquad\quad \sigma(\sqrt[5]{5})=\zeta^r\sqrt[5]{5}\text{ for some }0\leq r\leq 4$$ (Estos comprenden el $20$ diferentes elementos de $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ .)

Para entender $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ Intenta escribirlo con una presentación (generadores y relaciones). ¿Se te ocurre algún elemento concreto de $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ que, en conjunto, generan todo el grupo? Intenta tratar los dos generadores del campo "ortogonalmente" - encuentra un automorfismo que permute las distintas potencias de $\zeta$ e ignora $\sqrt[5]{5}$ y otro automorfismo que permuta las distintas raíces 5 de $5$ e ignora cualquier $\zeta$ s (o al menos, cualquier $\zeta$ s que no forman parte de una de las 5ª raíces de $5$ ). Entonces las combinaciones de estos dos deberían permitirle producir cualquier efecto deseado en ambos $\zeta$ y $\sqrt[5]{5}$ .

A continuación, determine las relaciones entre esos elementos generadores. Eso debería facilitar la determinación de los subgrupos de $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ (y por tanto, los subcampos de $K$ ).

Answer 2

Este grupo de orden $20$ es isomorfo al siguiente grupo de $2\times2$ matrices sobre el campo $k=\Bbb{F}_5$ $$ G=\operatorname{Gal}(K/\Bbb{Q})\simeq\left\{ \left(\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}\right)\big\vert\,a,b\in k, a\neq0 \right\}. $$ Este isomorfismo proviene del mapeo del automorfismo $\sigma:\zeta_5\mapsto\zeta_5, \root5\of5\mapsto\zeta_5\root5\of5$ a la matriz $\pmatrix{1&1\cr0&1\cr}$ y los automorfismos $\tau_a:\root5\of5\mapsto\root5\of5, \zeta_5\mapsto \zeta_5^a$ , $a=1,2,3,4$ a las matrices diagonales de $G$ . Comprueba que esto se extiende a un isomorfismo. Alternativamente, se puede mapear biyectivamente los ceros $x^5-5$ a elementos de $k$ y luego comprobar que los automorfismos de $K$ son las biyecciones lineales $x\mapsto ax+b$ de $k$ a sí mismo.

A continuación, puede enumerar los subgrupos sistemáticamente por su orden. El Sylow $5$ -subgrupo formado por potencias de $\sigma$ y es un subgrupo normal, por tanto único, de su orden. Las matrices diagonales de $G$ forman su Sylow (cíclico) $2$ -subgrupo. Es igual a su propio normalizador y thuse tiene cinco conjugados. Esto puede ser más fácil de ver a partir de la realización anterior de $G$ como permutaciones de $k$ - el Sylow $2$ -subgrupos son entonces exactamente los estabilizadores puntuales.

Esto debería darle suficiente estructura para permitirle enumerar también los subgrupos de los órdenes dos y diez.

Answer 3

Subextensiones de grado 5: $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{5})\mid\mathbb{Q}$ es una extensión de grado 5 que no es Galois (porque está contenida en $\mathbb{R}$ pero el polinomio mínimo de $\sqrt[5]{5}$ tiene raíces complejas). Por lo tanto, el subgrupo correspondiente de orden 4 no es normal y por los teoremas de Sylow esto significa que hay 5 de ellos. Así que tenemos 5 subextensiones de grado 5.

Subextensiones de grado 4: De nuevo por los teoremas de Sylow, sabemos que sólo hay 1 subextensión de grado 4 que es Galois.

Subextensiones de grado 10: Para ver cuántos subgrupos de orden 2 hay, escribe las ecuaciones de los automorfismos

$$ \sigma_{jk}(\zeta)=\zeta^{j} \quad \text{and} \quad \sigma_{jk}(\sqrt[5]{5})=\zeta^{k}\sqrt[5]{5} \quad \text{for $ 1\Nleqslant j\Nleqslant 4 $ and $ 0leqslant k\leqslant 4 $}$$

Contar cuántos elementos de orden 2 hay: ya que necesitamos $\sigma_{jk}^{2}(\zeta)=\zeta^{j\cdot j}=\zeta$ , $j$ puede ser 1 o 4. Del mismo modo, si $j=1$ , $k$ tiene que ser 3 y si $j=4$ , $k$ tiene que ser 0. Por lo tanto, 2 elementos de orden 2 y 2 subextensiones de grado 10.

Subextensiones de grado 2: Tenemos un elemento de orden 1, 2 de orden 2 y 4 de orden 5. Cada subgrupo de orden 4 tiene exactamente un elemento de orden 2, uno de orden 4 y su inverso. Por tanto, 10 elementos de orden 4. Esto suma 17 elementos. ¡Faltan 3!

Nuestro grupo no es conmutativo. Por lo tanto tampoco es cíclico, y los elementos que faltan no pueden tener orden 20. Por lo tanto, tienen orden 10. Generan grupos cíclicos de orden 10. Uno de estos grupos cíclicos tiene 1 elemento de orden 1, 4 elementos de orden 5 y elementos de orden 2 y 10. Para completar los 5 elementos que faltan necesitamos el 2 de orden 2 y el 3 de orden 10. Por lo tanto, sólo hay 1 subgrupo cíclico de orden 10.

El grupo diédrico de orden 10 tiene 5 elementos de orden 2. No tenemos tantos elementos de orden 2. Por lo tanto, no hay subgrupos diedros de orden 10.

Un grupo de orden 10 es cíclico o diédrico. Por lo tanto, hay exactamente 1 subgrupo de orden 10 y 1 subextensión de grado 2.