La transformada de Fourier $$F: L^2\rightarrow L^2 \qquad \hat{f}(\omega) \equiv (Ff)(\omega) \equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$ puede verse como un operador unitario con inverso (y por tanto, adjunto) $$(F^{-1}Ff)(t) = (F^\dagger F f)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega \, .$$ Todos los operadores unitarios $U$ puede escribirse como la exponencial de un operador hermitiano $H$ es decir $U = \exp(iH)$ . Qué es el operador hermitiano $H$ que satisface $F = \exp(iH)$ ¿Y tiene algún significado o uso físico?
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Esa pregunta me pareció bastante interesante y encontré un artículo muy bonito en el arXiv: Estructuras clásicas en la mecánica cuántica y Aplicaciones . Se trata de la transformada de Fourier en el marco de la mecánica cuántica (QM). En QM la transformada de Fourier se utiliza con frecuencia para transformar del espacio de posición al de momento: $$\hat F|q(x)\rangle=|p(x)\rangle,$$ donde $|q(x)\rangle$ y $|p(x)\rangle$ son eigenkets cuánticos de los observables de posición y momento y $\hat F$ es el operador de la transformada de Fourier. $\hat F$ puede definirse elegantemente como $$\hat F=\int^\infty_{-\infty}dx|p(x)\rangle\langle q(x)|.$$
$\hat F$ es unitaria y, por tanto, puede expresarse mediante la exponencial de un operador hermitano. Para la transformada de Fourier en este entorno, este generador hermitiano es el operador numérico definido con los operadores de escalera: $ \hat N=\hat a^\dagger \hat a$ : $$\hat F=\exp(i(\pi/2)\hat N).$$ Esto implica un bonito puente entre la segunda cuantificación: operadores de escalera, operador de número,.. y la representación canónica en estados de posición o de momento.
Para una explicación más detallada de esto, las consecuencias y las posibles generalizaciones, recomiendo encarecidamente la lectura de ese documento. Algunos puntos que aparecen en ese documento relacionados son "Formalismo de Weyl-Wigner" y "Grupo Simpléctico Cuántico" .
Blazej
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829
Este generador hermitiano es simplemente el Hamiltoniano del oscilador armónico $H=\frac{1}{2}(x^2+p^2)$ . Esto es sencillo de entender. En la imagen de Heisenberg la evolución con este Hamiltoniano es sólo rotaciones en $x,p$ plano. La transformada de Fourier es una transformación que mapea $x \to p$ y $p \to -x$ por lo que es una rotación particular con ángulo $\frac{\pi}{2}$ . Por lo tanto, $\mathcal F = \exp (-i \frac{\pi H}{2})$ .
