¿Por qué una peonza vuelve a ponerse vertical cuando se la golpea?

Question

He observado que, una peonza, al ser derribada golpeándola con el dedo, vuelve a ponerse casi vertical (con un movimiento de precesión despreciable), en lugar de sufrir precesión al ser fuertemente inclinada.

No encuentro qué fuerza produce el par necesario para ponerlo en posición vertical.

(Tenga en cuenta que mi pregunta no es exactamente por qué una peonza no cae debido a la gravedad, que ya se ha respondido).

EDITAR: Ver este vídeo de youtube para ver un ejemplo de esta "estabilización". Compare la inclinación de la parte superior al principio del vídeo con la inclinación en el tiempo 1:30.

Answer 1

El par que hace girar un montante superior, como ocurre en ese vídeo de youtube, se debe a rozamiento por deslizamiento entre la parte superior y su superficie de apoyo.

Para conseguir este efecto, es fundamental que el top del vídeo de youtube tenga la parte inferior redondeada, en lugar de llegar a un punto afilado en la parte inferior como hacen algunos tops. El efecto es más pronunciado y dramático en los tops que tienen un mayor radio de curvatura en su parte inferior, como en el caso extremo de un tippe top que tiene un radio de curvatura tan grande que es posible que el centro de masa de la parte superior esté a una altura menor que el radio de curvatura. De hecho, los artículos que he visto que muestran cómo la fricción por deslizamiento hace que el centro de masa de una peonza se eleve están haciendo específicamente un análisis de una peonza.

El análisis de una cima en toda su generalidad, incluidos los efectos de la fricción, es bastante complicado. Para simplificar enormemente el análisis, me limitaré a considerar la parte superior en un instante de tiempo en el que la parte superior no tiene momento lineal y tiene un momento angular muy grande que se encuentra precisamente a lo largo del eje de simetría de la parte superior.

También consideraré que la gravedad es insignificante en esta sencilla explicación. La gravedad provoca un par puramente horizontal en la parte superior, pero sólo nos interesa el par que tiene un componente vertical, que hará que la parte superior se ponga cada vez más vertical. En realidad, si no fuera porque la gravedad mantiene unidos el tablero y la mesa, no habría rozamiento por deslizamiento en el punto de contacto entre ambos, pero nos limitaremos a suponer que el rozamiento por deslizamiento existe, sin considerar cómo se relaciona el rozamiento por deslizamiento con la gravedad.

El diagrama anterior muestra una sección transversal vertical a través de la parte superior, que contiene el eje de simetría de la parte superior. El punto $P$ se encuentra en el eje de simetría, al igual que el centro de masa de la parte superior $O$ . El momento angular de la parte superior $\vec{L}$ apunta en la dirección del eje de simetría.

Dado que la parte superior tiene un fondo redondeado en lugar de un fondo puntiagudo, el punto de contacto de la parte superior no está en $P$ sino en algún momento $C$ . A partir de los supuestos anteriores, en el instante de interés $P$ es estacionario. Por el contrario, desde la dirección de $\vec{L}$ , en $C$ la superficie de la parte superior se desplaza hacia el espectador, en línea recta fuera del plano del diagrama. El rozamiento por deslizamiento es una fuerza $\vec{F}_k$ (no se muestra) en la parte superior en $C$ en la dirección opuesta al movimiento de la parte superior en ese punto, es decir, en línea recta hacia abajo, alejándose del espectador.

El vector de posición de $C$ de $O$ es $\vec{X}_C$ . La fuerza $\vec{F}_k$ en la parte superior produce un par en la parte superior alrededor del centro de masa de la parte superior,

$$\vec{\tau} = \vec{X}_C \times \vec{F}_k \,\, .$$

El par $\vec{\tau}$ puede escribirse como

$$\vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, ,$$

donde $\vec{\tau}_{\parallel}$ es paralelo a $\vec{L}$ y $\vec{\tau}_{\perp}$ es perpendicular a $\vec{L}$ .

El par $\vec{\tau}$ es cómo el momento angular de la parte superior $\vec{L}$ cambia con el tiempo,

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, .$$

$\vec{\tau}_{\parallel}$ apunta en la dirección opuesta a $\vec{L}$ por lo que el efecto de $\vec{\tau}_{\parallel}$ es reducir la magnitud de $\vec{L}$ es decir, frenar la cima.

Si la parte superior estuviera en el espacio vacío, el efecto de $\vec{\tau}_{\perp}$ sería girar la parte superior alrededor de $O$ en el sentido de las agujas del reloj. Sin embargo, debido a la restricción de que la parte superior permanezca en contacto con la mesa, el efecto de $\vec{\tau}_{\perp}$ es elevar $O$ lejos de la mesa, y hacer $O$ más cerca de estar por encima $C$ .

Para un análisis mucho más detallado de cómo la fricción por deslizamiento en la parte inferior de una peonza hace que el centro de masa de la peonza se eleve, consulte prácticamente cualquier artículo sobre la peonza, como por ejemplo éste .

Answer 2

La parte superior es un cuerpo rígido simétrico. Las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa vienen dadas por: (Por favor, ver por ejemplo: Marsden y Ratiu (página 6).

$$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3$$ $$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1$$ $$I_3\dot\Omega_3=(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2$$ Supongamos que la parte superior rígida es simétrica respecto a un eje (digamos el tercero), por lo que tenemos: $$I_1=I_2$$ y también que el tercer eje es delgado: $$I_3<I_1(or I_2)$$ En este caso la tercera ecuación del movimiento implica $$\Omega_3=\Omega = const.$$ y sustituyendo en las otras dos ecuaciones, obtenemos: $$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega\Omega_2$$ $$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega\Omega_1$$

Tomando la primera derivada de la segunda ecuación con respecto al tiempo y sustituyendo la segunda equ $$I_1I_2\ddot\Omega_2= \Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)\Omega_2$$

Se trata de una ecuación $$\ddot\Omega_2+k^2 \Omega_2 = 0$$

W $$k^2= - \frac{\Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)}{I_1I_2}$$

Ahora, observe que k^2>0 ya que $I_3-I_1<0$ y $I_2-I_3>0$ por lo que la constante del muelle es real y el oscilador armónico es estable.

Cuando se aplica una pequeña fuerza externa limitada en el tiempo a un oscilador armónico, éste vuelve a oscilar en su frecuencia natural alrededor de su posición de equilibrio. Lo mismo ocurre cuando se golpea la parte superior, en este caso se aplica un pequeño par limitado en el tiempo. Si el momento angular alrededor del tercer eje es muy grande tal que: $$I_3 \Omega_3>> \int T_3 dt$$ Dónde $T_3$ es la componente del par a lo largo del tercer eje, por lo que el lado derecho es el impulso debido a la aplicación del par. En este caso, la aplicación del par no cambiará mucho la velocidad angular de la parte superior y todas nuestras suposiciones anteriores garantizan la estabilidad de la parte superior.

Answer 3

Esto se denomina efecto giroscópico y afirma que Un objeto que gira tiene un momento angular $\vec{L}$ De este modo, tiende a mantener su eje de rotación, $\vec{L}=I\omega$ más rápido gira (mayor $\omega$ ) más tiende a permanecer su eje de rotación.

Una peonza gira con una velocidad angular $\omega$ Por lo tanto, tiene un momento angular $\vec{L}$ Cuanto más rápido gire, mayor será el $\vec{L}$ y más tiende a permanecer su movimiento de rotación alrededor de un eje determinado, Tenga en cuenta que cuando se ralentiza (Debido a las fuerzas de fricción) que tiene menor $\vec{L}$ Así, su precesión aumenta debido a que su peso tira de él hacia abajo. ( Vídeo de demostración del efecto giroscópico )

Fuente

Observe que la fuerza de gravedad hizo que nuestra peonza precesara (precesara su eje de rotación) Por lo tanto, podemos concluir a partir de esta observación que se debe aplicar una fuerza para cambiar el eje de rotación de la peonza, Cuanto mayor sea la fuerza aplicada más precesará a partir de un eje de rotación original (suponiendo que $\vec{L}$ es constante). Cuando se suprime esta fuerza, vuelve naturalmente a su estado original sin precesión porque tiene momento angular.

Es como la primera ley de Newton, pero en movimiento de rotación en lugar de traslación.

La primera ley de Newton dice:

• Un objeto en movimiento tiende a mantenerse en movimiento moviéndose en línea recta, a menos que actúe una fuerza desequilibrada.

Podemos recrear esta ley para el movimiento de rotación:

• Un objeto que gira tiende a permanecer en movimiento de rotación alrededor de un eje determinado a menos que actúe una Fuerza desequilibrada.

Un objeto que tiene un movimiento de traslación con una velocidad $v$ requerirá una fuerza $\vec{F}$ para cambiar su dirección de movimiento de forma similar un Objeto que tiene velocidad angular $\omega$ requiere una Fuerza para cambiar su eje de rotación.

El par se define como la tendencia de una fuerza a hacer girar un objeto alrededor de un eje y matemáticamente se define como un producto vectorial (cruzado) de distancia y fuerza:

$$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$$

Dónde $r$ es una distancia desde el punto de rotación y $\vec{F}$ es la fuerza aplicada.

Tenga en cuenta que el par es un vector y este vector se representa en la imagen de abajo:

la peonza vuelve a estar casi vertical porque tiene momento angular y eso significa que si un objeto gira se está resistiendo a que su eje de rotación se precesione y más rápido gira más se está resistiendo a que se produzca esta precesión así que si la vuelco si sigue girando con la misma velocidad angular volverá a precesión cero, más rápido gira más rápido volverá a su estado original.

Para explicarlo matemáticamente consideremos una peonza en la tierra con velocidad angular $\omega$ su velocidad angular de precesión $\omega_p$ y el ángulo de precesión como $\phi$

su momento angular se define como:

$$\vec{L}= \vec{\omega} I$$

Digamos que la peonza gira $\Delta \theta$ y su cambio de momento angular es $\Delta L$ .

Entonces podemos expresar $\Delta \theta$ como sigue:

$$\Delta \theta \approx \frac{\Delta L}{L sin(\phi)}$$

La velocidad angular de precesión puede expresarse como sigue:

$$\omega_p = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$

ahora podemos sustituir la primera ecuación en esta.

$$\omega_p = \frac{\Delta L}{\Delta t L sin(\phi)}$$

El par se define como el cambio en el momento angular:

$$\frac{\Delta L}{\Delta t}= I \vec{\alpha} = \tau $$

Ahora sustituimos esto en la ecuación anterior:

$$\omega_p = \frac{\tau}{L sin(\phi)}$$

y obtenemos la siguiente fórmula:

$$\omega_p = \frac{\vec{F}r}{L sin(\phi)}$$

De esta ecuación se deduce que si aplicamos una fuerza sobre un objeto que gira su $\omega_p$ aumentará porque es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Si la fuerza aplicada es cero, $\omega_p$ también se hace cero, por lo que dejará de tener velocidad angular de precesión y volverá a erguirse.

Answer 4

Este tipo de peonza se inclina y se levanta porque la fuerza centrífuga exige que el patrón de giro sea circular respecto a la perpendicular de la fuerza gravitatoria. Cuando se golpea hacia un lado, el patrón de giro es ovalado con respecto a la perpendicular de la gravedad. Así que la parte superior vuelve en espiral a la posición más eficiente para la fuerza centrífuga.

Answer 5

Para entender la precesión giroscópica de forma intuitiva, sin utilizar vectores de momento, considere esta analogía con un satélite en órbita. Mira el vídeo "TheHue's SciTech" de 25 segundos hasta que te sientas cómodo prediciendo en qué dirección precesionará un giroscopio cuando actúe sobre él un momento de rotación. https://www.youtube.com/watch?v=n5bKzBZ7XuM . Consideremos ahora el diagrama de Red Acts tal como se muestra en su respuesta, su peonza gira en sentido antihorario vista desde arriba, porque la fuerza de rozamiento F apunta en sentido contrario al espectador, opuesto a la superficie de la peonza. Esto crea un momento de rotación en el plano ocupado por el punto de contacto C y el centro de masa de la peonza O. Resuelve este momento en un plano paralelo a los componentes giratorios de la peonza, y un plano perpendicular a ellos. La componente paralela sólo provoca una ralentización de la parte superior, sin precesión. La componente perpendicular de este momento es la que provoca la precesión de la parte superior hacia la vertical. El sentido de rotación de este momento provoca una fuerza que empuja el borde de la parte superior más cercano al espectador hacia el extremo inferior de la parte superior, y hacia arriba en el lado opuesto. Pero, al igual que en la analogía del satélite, esos bordes no se mueven hacia arriba o hacia abajo, sino que son los bordes situados a la izquierda y a la derecha del espectador los que se mueven realmente. El borde a la derecha del espectador se mueve hacia abajo, y el borde a la izquierda se mueve hacia arriba. Y ésta es la precesión que hace que la parte superior quede vertical. Hace tiempo me di cuenta de que esto es lo que le ocurre a un Tippe Top, pero en un Tippe ocurren muchas más cosas debido a que es una esfera con un radio grande.