Ejemplos de las limitaciones en la naturaleza con $\lim_{x \to c}f(x) \neq f(c)$

Question

La próxima semana voy a empezar la enseñanza de Cálculo para la primera vez. Estoy preparando mis notas, y, como matemático puro, no puedo venir para arriba con un buen ejemplo del mundo real de la siguiente.

Hay buenos ejemplos de \begin{equation} \lim_{x \to c} f(x) \neq f(c), \end{equation} o de los casos cuando el $c$ no está en el dominio de $f(x)$?

La única cosa que vino a mi mente es el estudio de los fenómenos físicos en la temperatura de la $T=0 \,\mathrm{K}$, pero no estoy muy satisfecho con ella.

Todas las ideas son más que bienvenidos!

Advertencia

Más los ejemplos son accesibles (por ejemplo, un estudiante de primer año estudiante de la universidad), más voy a estar agradecido! En particular, me gustaría que los ejemplos naturales o ciencias sociales. De hecho, en una primera clase de Cálculo no es clara la importancia de las funciones de los indicadores, etc..

Editar

Como B. Goddard señalado, una muy sutil punto de cálculo es uno de los extraíble singularidades. Si es posible, me encantaría tener algún ejemplo de este fenómeno. De hecho, la mayoría de los ejemplos de la física son de funciones con polos o indeterminación en el dominio.

Answer 1

Si $f(t)$ es el número de seres humanos vivos en el tiempo de $t$, entonces hay una discontinuidad de $f$ cada vez que un ser humano nace o muere.

La misma lógica vale para cuentas de banco, espacio de disco, el número de moléculas de cafeína en su cuerpo, y todos los demás fenómenos discretos.

Answer 2

Un fenómeno discontinuo en la física es el campo eléctrico por encima y por debajo de una superficie con el uniforme de carga positiva de la densidad de $\sigma$. El campo por encima de la hoja apuntando directamente hacia arriba con $E_\text{top} = +{\sigma \over 2\varepsilon_0} \hat k$ y que a continuación se $E_\text{below} = -{\sigma \over 2\varepsilon_0} \hat k$. Usted podría renunciar a la notación de vector y simplemente el uso de $+$ $-$ a distinguir entre los dos.

Referencia: http://www.physicspages.com/2011/10/12/electrostatic-boundary-conditions/

Answer 3

Si instantáneo de las colisiones elásticas cuenta como real world , a continuación, la velocidad de $f(t)$ de una pelota que viaja a velocidad constante $v$ y golpear una pared en $t = t_0$ $v$ $t \lt t_0$, $0$ en $t = t_0$, e $-v$$t \gt t_0$, por lo tanto los límites laterales existen en $t_0$ pero que son diferentes entre ellos y diferentes a los de $f(t_0)$.

---

[ EDITAR ] Según lo publicado, $f(t)$ es considerado el firmado de velocidad lineal a lo largo de la dirección del movimiento, que se supone perpendicular a la pared.

La sustitución de este con la magnitud de la velocidad de $|f(t)|$ da una función que es igual a $v$ todos los $t \neq t_0$$0$$t = t_0$, que es un ejemplo en donde la $lim_{t \to t_0} |f(t)|$ existe, pero es diferente de $|f(t_0)|$.

Answer 4

Una versión más simple del ejemplo de @AOrtiz:
Considere la posibilidad de un vaso de agua, y la función de $\Delta(h)=$ densidad en un punto de $h$ cm por encima de la superficie, en gr/ml. Es $1$ cuando $h<0$, $0$ (o muy pequeño de $\varepsilon$)$h>0$, y estoy seguro de que usted estará de acuerdo en que cualquier definición razonable de la densidad en un punto devolverá $\Delta(0)=1/2$.

Nunca he utilizado este ejemplo en la enseñanza, pero a mí me parece que sería muy sugerente.

Answer 5

Un $10$ cm de longitud de alambre de acero del resorte con una ruptura de la tensión de 1 kg está formado en un muelle de longitud $1$ cm.

Con el resorte suspendido verticalmente, $100$ gm de peso adjunto al final de la primavera estira $1$ cm más allá de su longitud natural. Asumir la ley de Hooke se mantiene hasta que el resorte está completamente extendidos.

El gráfico de la función de $W(x)$ donde $x$ es el número de centímetros que el resorte se estira y $W(x)$ es la cantidad de peso en gramos de la primavera es capaz de admitir cuando se estiran $x$ cm más allá de su longitud natural.

¿Qué se puede decir acerca de la gráfica de $y=W(x)$ en la vecindad de $x=9$?