Se dice que una función es continua. ¿Puede tener asíntotas verticales?

Question

Esta es una pregunta general. Se dice que una función es continua. ¿Puede tener asíntotas verticales? Mirando la definición de continuidad, yo diría que no. Porque cerca de una asíntota vertical x-delta podría tener una y de cerca de menos infinito, mientras que x+delta podría tener un valor de cerca de +infinito, por ejemplo.

Answer 1

No tiene sentido preguntarse si una función es continua en un punto donde no está definida. Así que si tiene una asíntota vertical, entonces eso no es un punto de discontinuidad, sino un punto que no forma parte del dominio.

Para que quede claro lo que quiero decir con "no tiene sentido", la definición de continuidad en un punto $x$ implica la expresión $|f(x) - f(y)|$ . Si $x$ es tal que $f(x)$ no tiene sentido, entonces tampoco lo tiene esa expresión, por lo que preguntar por la continuidad no tiene sentido.

Answer 2

La función $f\colon \Bbb R\setminus\{0\}\to\Bbb R$ dado por $f(x)=\frac 1x$ es continua en todo su dominio. Sin embargo, existe una asíntota vertical.

Answer 3

Una noción importante que no se ha mencionado en ninguna respuesta hasta ahora es compacidad . Existe una definición formal de esto ( https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space ) que se puede aplicar a cualquier dominio abstracto sobre el que se pueda definir la función, pero si el dominio es un subconjunto de la recta numérica, basta con comprobar si es limitado (no se "estira" hasta el infinito) y cerrado (incluye todos sus "puntos finales"). Otras respuestas han dado varios ejemplos de funciones que eran continuas en su dominio y aún así incluían una asíntota vertical, pero esa asíntota era siempre un "punto final" del dominio que no estaba incluido en el propio dominio; así que el dominio no era cerrado y, por tanto, no era compacto.

En general, la imagen de una región compacta bajo cualquier función continua será siempre compacta; así, si una función tiene valores en la recta numérica (o en cualquier otro espacio métrico) entonces el conjunto de valores de la función en cualquier región compacta de su dominio debe ser compacto, y por tanto acotado, y no puede haber asíntota vertical.

Answer 4

Sí. $1/x$ es continua en (0,1) y tiene una asíntota vertical en 0.

Answer 5

"Porque cerca de una asíntota vertical x-delta podría tener una y cercana a menos infinito, mientras que x+delta podría tener un valor cercano a +infinito, por ejemplo".

Entonces sólo tienes que elegir un delta más pequeño.

Toma $f(x) = 1/x$ por ejemplo. Es continuo en todos los $x \ne 0$ . Y como $f(0)$ es indefinido, es continuo en todos los puntos de su dominio.

Elige un punto $x_1 > 0$ . Entonces el $\delta$ que elija debe ser $\delta < |x_1 - 0|=x_1$ . Pero eso siempre es posible. Si $\delta < x_1$ entonces $0 < x_1 - \delta < x_1 < x_1 + \delta$ y si $|x - y| < \delta$ entonces $0< \frac 1{x+ \delta} < \frac 1y < \frac 1{x-\delta}$ no tiene el problema de contener un rango de valores no limitados.

El mismo argumento es válido para $x_2 < 0$ .

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Ejemplo práctico: Sea $x_1 = 1/\text{googol} = 10^{-100}$ . Es $f(x) = 1/x$ continua en $x= x_1$ ? $x_1$ está muy cerca de la asíntota, ¿no?

Dejemos que $\epsilon > 0$ . Queremos encontrar un $\delta > 0$ por lo que el for todo $y$ tal que $|y- 10^{-100}| < \delta$ entonces $|f(y) - f(10^{-100})| = |1/y - 10^{100}| < \epsilon$ .

Para encontrarlo necesito $-\epsilon < 1/y - 10^{100} < \epsilon$ o $10^{100} - \epsilon < 1/y < 10^{100} + \epsilon$

o $\frac 1{10^{100}+\epsilon} < y < \frac 1{10^{100} - \epsilon}$ .

$\frac 1{10^{100} +\epsilon} -x_1 < y-x_1 > \frac 1{10^{100} - \epsilon}-x_1$

Así que para $\delta = \min (|10^{100} - \frac 1{10^{100} +\epsilon},|\frac 1{10^{100} -\epsilon} - 10^{100}|)$ Siempre y cuando $|x_1 - y| < \delta$ entonces $|1/x_1 - 1/y| < \epsilon$ .

Nota: $0 < \delta < 1/10^{100}$

Así que $f$ es continua en $x = 1/\text{googol}$ . Pero el delta que teníamos que encontrar era cada vez más pequeño que $1/\text{googol}$ .