¿Cuál es el término dado a las dos funciones cuando su orden de composición no importa?

Question

Cuando las funciones de $f$ $g$ tienen la propiedad de que $f(g(x)) = g(f(x))$ todos los $x$ en los dominios que yo llamo esta propiedad 'conmutatividad'. (en general, tanto las funciones de mapa de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, por lo que el problema de dominio/rango no importa)

Sin embargo, conmutatividad es en realidad cuando: $a*b=b*a$

Yo lo uso a sabiendas de que probablemente no sea el término correcto... pero nunca he encontrado lo que debe llamar.

Answer 1

El término está bien, y en realidad se refiere a la misma propiedad: El conjunto $\Bbb R^{\Bbb R}$ de todos los mapas $\Bbb R\to\Bbb R$ está dotado con una operación binaria $\circ$, la composición de funciones: Si $f$ $g$ son mapas de $\Bbb R\to\Bbb R$, entonces también lo es $f\circ g$ (el cual es definido por $(f\circ g)(x):=f(g(x))$). Esta operación binaria tiene muchas propiedades interesantes, tales como

• hay un elemento neutro, es decir, la identidad de la función $\operatorname{id}\colon \Bbb R\to\Bbb R, x\mapsto x$. Tenemos $\operatorname{id}\circ f=f\circ\operatorname{id}=f$ todos los $f$
• es asociativo: Tenemos $f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$. De hecho, en muchos casos utilizamos esta asociatividad para demostrar la asociatividad de cualquier otra operación dada.
• A veces, tenemos $f\circ g=g\circ f$. Decimos que estos elementos commute, así como lo haría con cualquier otra estructura algebraica.

Answer 2

La terminología "$f$ $g$ viajar" está perfectamente bien y comúnmente utilizado. Por ejemplo, en álgebra lineal, es un útil el hecho de que dos diagonalizable los operadores pueden ser simultáneamente diagonalized si y sólo si los operadores conmutan. Otro ejemplo está dado por la Mentira de soporte de dos campos vectoriales, un objeto muy importante en la geometría que mide el grado en que los flujos de los campos vectoriales desplazamientos locales.

Answer 3

La operación de composición en el conjunto de las funciones de $\mathbb R \to \mathbb R$ es de por sí una operación binaria que no es necesariamente conmutativo. Sin embargo, cuando $f \circ g = g \circ f$, $f$ y $g$ se dice que "viajar" con respecto a $\circ$.

Answer 4

De hecho, conmute es la terminología correcta: Véase la entrada de Wikipedia para la función de composición. Para ser más precisos (o detallado), que podríamos llamar "conmuta con respecto a la composición", pero cuando estamos hablando de las funciones de $f$$g$, entonces está claro lo que se entiende por la frase "$f$ $g$ viajar" como la operación que está implícita es la composición, no la multiplicación--las funciones operan en cada uno de los otros como composiciones propias.