Probar esta integral $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x^4+a^4}+\sqrt{x^4+b^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2 }{6 \sqrt{\pi}} \frac{a^3-b^3}{a^4-b^4}$

Question

Resulta que esta integral tiene una muy buena forma cerrada:

$$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x^4+a^4}+\sqrt{x^4+b^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2 }{6 \sqrt{\pi}} \frac{a^3-b^3}{a^4-b^4}$$

Me encontré con Mathematica, pero no puedo averiguar cómo demostrarlo.

La integral parece bastante problemático para mí. Si los límites eran finitos, yo haría esto:

$$\frac{1}{\sqrt{x^4+a^4}+\sqrt{x^4+b^4}}=\frac{1}{a^4-b^4}(\sqrt{x^4+a^4}-\sqrt{x^4+b^4})$$

Entonces, para una de las integrales tendremos:

$$\int_A^B \sqrt{x^4+a^4} dx=a^3 \int_{A/a}^{B/a} \sqrt{1+t^4} dt$$

Esta integral es complicado, pero muy bien conocidos.

Por otro lado $\int_0^\infty \sqrt{1+t^4}dt$ diverge, así que no se puede considerar que los dos términos por separado.

Pero la integral se comporta como puedo! Si nos fijamos en la expresión final, parece que $\int_0^\infty \sqrt{1+t^4}dt=\frac{\Gamma(1/4)^2 }{6 \sqrt{\pi}}$, incluso a pesar de que puede no ser correcta.

Tengo que de alguna manera llegar a la función Beta, ya que disponemos de un cuadrado Gamma como una respuesta.

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Estoy interesado en esta integral, ya que representa a otro tipo de media para dos números de $a$$b$. Si tenemos en escala adecuada:

$$I(a,b)=\frac{8 \sqrt{\pi}}{\Gamma(1/4)^2 } \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x^4+a^4}+\sqrt{x^4+b^4}}= \frac{4}{3} \frac{a^2+ab+b^2}{a^3+ab(a+b)+b^3}$$

Por eso, $1/I(a,b)$ es una media de los dos números.

Answer 1

$$\int_0^\infty (\sqrt{x^4+a^4}-\sqrt{x^4+b^4}) dx \implies $$

$$\int_0^\infty (\sqrt{x^4+a^4}-x^2-(\sqrt{x^4+b^4}-x^2)) dx$$

Debido a que el $\int_0^\infty (\sqrt{x^4+a^4}-x^2)dx $ es convergente por lo que la integración puede ser linealmente separados.

$$\int_0^\infty (\sqrt{x^4+a^4}-x^2)dx - \int_0^\infty(\sqrt{x^4+b^4}-x^2) dx$$

Fuera de la simetría, la pregunta es: ¿cómo resolver la integración de $\int_0^\infty (\sqrt{x^4+a^4}-x^2)dx$ en términos de $a$.

Deje $a^2 \sqrt{t} = \sqrt{x^4+a^4}-x^2 \implies x^2 = a^2 \frac{1-t}{2\sqrt{t}}$ que nos trajo a un viejo problema: ver la segunda respuesta en este post por los votos de ordenación.

Después de la simplificación de la integración se convierte en $\frac{\Gamma(1/4)^2 }{6 \sqrt{\pi}} a^3$.

Por lo tanto, la fórmula original debe ser $$\int_0^\infty (\sqrt{x^4+a^4}-x^2-(\sqrt{x^4+b^4}-x^2)) dx = \frac{\Gamma(1/4)^2 }{6 \sqrt{\pi}} (a^3-b^3)$$.

De ahí que la pregunta se resuelven.

Answer 2

Otra manera de hacerlo, puede ser.

Asumiendo $a>0$$t>0$, tenemos

$$I_a=\int_0^t \sqrt{x^4+a^4}\, dx=a^2 t \, _2F_1\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4};\frac{5}{4};-\frac{t^4}{a^4}\right)$$ Expanding as Taylor series for infinitely large values of $t$, $$I_a=\frac{t^3}{3}+\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}}^3 \Gamma \left(\frac{5}{4}\right)}{\Gamma \left(\frac{7}{4}\right)}-\frac{a^4}{2}+O\left(\frac{1}{t^3}\right)$$ So, for an infinite value of $t$,
$$\lim_{t\rightarrow\infty}(I_a-I_b)=(a^3-b^3)\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} \Gamma \left(\frac{5}{4}\right)}{\Gamma \left(\frac{7}{4}\right)}=(a^3-b^3)\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)^2}{6 \sqrt{\pi }}$$ y por lo tanto el resultado.

Answer 3

Otra manera de dividir las integrales es para sustituir la raíz cuadrada por una potencia $p$:

$$\sqrt{x^4 + a^4}\longrightarrow \left(x^4 + a^4\right)^{p}$$

La integral de los términos independientes entonces convergen $p<-\frac{1}{4}$, y puede ser expresada en términos de la beta-función. Se puede sustituir el $p = \frac{1}{2}$ en la respuesta final, a pesar de que el individuo integrales no convergentes mediante la invocación de continuación analítica.

Para llegar a la beta-funciones, puede sustituir a $x = a t$ conseguir $a$ fuera del camino, a continuación, $u = t^4 + 1$ y, finalmente, $u = \frac{1}{v}$ rendimiento explícito de beta-forma de la función.