Esta no es una respuesta. Es un intento de Noé Schweber la nueva condición. Ver su comentario bajo i707107 de la solución.
Deje $F$ ser una extensión de campo de un campo de $K$$n:=[F:K]\geq 4$. Supongamos que $B$ es una base de Hamel $F$ $K$ con la divisibilidad de la propiedad, es decir, para todos los $a,b\in B$ con $a\neq b$, $\dfrac{a}{b}\in B$. A continuación, se sostiene que $ab\in B$ todos los $a,b\in B$$ab\neq 1$.
Fix$a,b\in B$$ab\neq 1$. A continuación, elija $c\in B\setminus\{a\}$$d\in B\setminus\left\{c,bc,\dfrac{c}{a}\right\}$. Por lo tanto, $\dfrac{c}{a}\in B$$\dfrac{ad}{c}=\dfrac{d}{c/a}\in B$. Además, $\dfrac{d}{c}\in B$$\dfrac{d}{bc}=\dfrac{d/c}{b}\in B$. Desde $ab\neq 1$,$\dfrac{ad}{c}\neq \dfrac{d}{bc}$. En consecuencia,
$$ab=\frac{ad/c}{d/bc}\in B\,.$$
Involutiva Bases De Hamel
Un subconjunto $S$ $F\setminus\{0\}$ se dice es involutiva si $S$ es invariante bajo de la inversión (es decir, $\dfrac{1}{s}\in S$ todos los $s\in S$). Ahora, si podemos demostrar que cada Hamel base de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ no es involutiva, entonces se sigue que una base de Hamel con la divisibilidad de la propiedad no existe. No creo que un involutiva Hamel base para la extensión de $\mathbb{R}>\mathbb{Q}$ existe, pero no tengo idea acerca de una prueba. Más en general, me gustaría saber si existe un campo de $K$ y una infinita extensión de campo $F$ $K$ con una base de Hamel $B$ $K$ tal que $B$ es involutiva. Como en i707107 la solución de involutivity de $B$ no es necesario si $[F:K]>|\bar{K}|$ donde $\bar{K}$ es la clausura algebraica de $K$, pero es una pregunta interesante, sin embargo.
Si $n=[F:K]$ es finito y el impar, entonces $$B=\left\{\bar{x}^{-\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor},\bar{x}^{-\big(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-1\big)},\ldots,\bar{x}^{+\big(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor-1\big)},\bar{x}^{+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\right\}$$ is an involutive basis of $F$ over $K$, where $F=K[x]\big/\big(f(x)\big)$ for some irreducible polynomial $f(x)\en K[x]$. If $n$ is even, then there exists an irreducible polynomial $f(x)$ of degree $n$ in $K[x]$ such that the coefficient of the term $x^{n/2}$ is nonzero and that $F=K[x]\big/\big(f(x)\big)$, making $$B=\left\{\bar{x}^{-1},\bar{x}^{-2},\ldots,\bar{x}^{-(n/2)}\right\}\cup\left\{\bar{x}^{+1},\bar{x}^{+2},\ldots,\bar{x}^{+(n/2)}\right\}$$ an involutive Hamel basis of $F$ over $K$. (For example, with $F=\mathbb{C}$ and $K=\mathbb{R}$, we can take $f(x)=(x+1)^2+1$.)
La existencia de $B$ con la Divisibilidad de la Propiedad
Para $n=2$, tome $K:=\mathbb{F}_2$$F:=\mathbb{F}_4=K[x]\big/\left(x^2+x+1\right)$. A continuación, $B:=\left\{\bar{x},\bar{x}+1\right\}$ cumple la condición, donde $\bar{x}$ es la imagen de $x$ bajo la proyección canónica $K[x]\to K[x]\big/\left(x^2+x+1\right)$. De hecho, si una base de Hamel $B$ existe para el caso de $n=2$, $x^2+x+1$ es un polinomio irreducible en $K[x]$$F=K[x]\big/\left(x^2+x+1\right)$, en cuyo caso $B=\left\{\bar{x},-\bar{x}-1\right\}$.
Para $n=3$, resulta que $B$ no puede existir. Supongamos contrario que $B=\{a,b,c\}$ existe. A continuación, podemos ver fácilmente que el $B$ no contiene $1$ (o la extensión sería de índice en la mayoría de las $2$). Por lo tanto, $\dfrac{a}{b}\neq a$$\dfrac{a}{c}\neq a$. Si $\dfrac{a}{b}=c$,$c\notin K$, de donde $\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{c}\neq c$, de modo que $\dfrac{b}{a}=a$ es la única posibilidad. Además, también contamos $\dfrac{a}{c}=b$, lo que conduce a $b\notin K$$\dfrac{c}{a}=a$. Por lo tanto, $b=a^2=c$, una contradicción. Por lo tanto, $\dfrac{a}{b}=b$$\dfrac{a}{c}=c$. Sin embargo, esto da $b^2=a=c^2$ o $b=\pm c$, lo cual es absurdo.
Como i707107 muestra, $B$ no existe si $[F:K]>|\bar{K}|$. Reemplace $\mathbb{Q}$ en i707107 la solución por $K$ $\mathbb{R}$ $F$ para obtener una prueba de esta afirmación. Estamos a la izquierda para lidiar con el caso donde $[F:K]>3$ es finito y el caso al $[F:K]$ es infinito, sino $[F:K]\leq|\bar{K}|$.
Caso 1: El índice de $n=[F:K]$ es un entero impar mayor que $3$. Supongamos $B$ existe. Es evidente que $1\notin B$ $B$ debe ser involutiva. Desde $n=|B|$ es impar, $B$ tiene un involutiva elemento $u\in B$$u=\dfrac{1}{u}$. Debido a $1\notin B$,$u=-1$, de ahí la característica de $K$ no puede ser $2$). Así, para cualquier $a\in B\setminus\{u\}$, $\dfrac{u}{a}=-\dfrac{1}{a}$ debe estar en $B$. Esto contradice el hecho de que $B$ es involutiva (lo que significa que $\dfrac{1}{a}$$B$).
Caso 2: El índice de $n=[F:K]$ es un entero par mayor que $2$. Si $B$ existe, $B$ se puede dividir en $\left\{t^{+j},t^{-j}\right\}$ algunos $t\in F$$j=1,2,\ldots,\frac{n}{2}$. Ergo, $t^p=1$ para algunos entero $p>0$. Si $p$ no es primo, entonces podemos ver que $B$ no $K$-linealmente independientes, lo cual es absurdo. Por lo tanto, vemos que el $[F:K]=n=p-1$ por alguna extraña primer número natural $p$ y $$B=\left\{t,t^2,\ldots,t^{p-1}\right\}=\bigcup\limits_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}\,\left\{t^{+j},t^{-j}\right\}$$ for some primitive $p$-th root of unity $t\F\setminus K$. This is possible only if $\text{char}(K)\neq p$. In summary, for the case $[F:K]$ is even, $B$ exists if and only if $F$ is a cyclotomic field extension over $K$ generated by a primitive $p$-root of unity with $p$ de ser un extraño prime.
Caso 3: El índice de $n=[F:K]$ es infinito y $n\leq|\bar{K}|$. Si $F$ es algebraico sobre $K$, entonces podemos seguir a los dos ex casos que una base de Hamel $B$ tendría que contienen sólo primitiva $p$-raíces de la unidad, por extraño prime números naturales $p$, pero esto es absurdo, ya que los productos de la mayoría de los pares en $B$ también están en $B$. Por lo tanto, $B$ no existe si $F$ es algebraico sobre $K$. El subcase donde $F$ no es puramente algebraico sobre $K$ parece ser muy difícil.
