$x\ge 13\implies\pi(x)\ge \pi\circ\pi(x)+\pi\circ\pi\circ\pi(x)+\cdots$
Esto puede ser demostrado?
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mjqxxxx
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Ciertamente, $\pi(x) \le (2/3)x$ todos los $x$, por lo que el lado derecho se satisface $$ \pi(\pi(x)) + \pi(\pi(\pi(x))) + \pi(\pi(\pi(\pi(x)))) + \ldots \le \pi(\pi(x))\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots\right)=3\pi(\pi(x)). $$ Usando la desigualdad de $\pi(x) < 1.25506 (x / \ln x)$, entonces, tenemos $$ 3\pi(\pi(x))\le(1.25506\cdot 3 / \ln(\pi(x)))\pi(x) < \pi(x) $$ siempre que $\ln(\pi(x)) > 3.76518$ o $\pi(x)\ge44$ o $x \ge p_{44}=191$. Y una numérica directa de verificación muestra su desigualdad se cumple para $13\le x<191$.
IBr
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En realidad, algo más general y puede ser demostrado:
$$n \geq \pi(n) + \pi(\pi(n))+ \pi(\pi(\pi(n))) + \cdots$$
En primer lugar, tenga en cuenta que $\pi(n) \leq \frac23n$ todos los $n$. También, tenga en cuenta que$\pi(n) \leq \frac13n$$n \geq 35$.
Prueba. $\pi(n) \leq \frac12n+1$ todos los $n$ se deduce del hecho de que dos es el único primo par. Esto es menor que $\frac23n$ todos los $n\geq 6$. Se puede comprobar manualmente para $n=1,2,3,4,5$.
Para la segunda desigualdad, tenga en cuenta que cada prime no es igual a $2,3$ es congruente a $1$ o $-1$ modulo $6$. Ahora tenga en cuenta que $1, 25$ $35$ tienen este formulario, pero no son primos. A partir de esto, también tenemos $\pi(n) \leq \frac13n$$n \geq 35$.
Ahora la principal prueba:
Deje $f^k$ el valor de la función de iteración. Tenemos para $n\geq35$ que $$\pi^k(n) = \pi^{k-1}(\pi(n)) \leq \pi^{k-1}\left(\frac23n\right) \leq \frac13\left(\frac23\right)^{k-1}n$$
Por lo tanto, tenemos la desigualdad $$\sum_{i=1}^{\infty} \pi^i(n) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \frac13\left(\frac23\right)^{i-1}n = \frac13n \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac23\right)^{i-1} = \frac13n \cdot \frac1{1-\frac23}=n$$
Ahora, sustituyendo $n=\pi(x)$ da el resultado deseado para $x \geq 149$.
Otro usuario ya lo mostró para $13\leq x \leq 2000$, por lo que esto da el resultado.
La desigualdad es trivialmente cierto, porque desde el primer número teorema, la LHS es asintótica a$\frac{x}{\log x}$, mientras que el lado derecho es asintótica a $\frac{x}{\log^2 x}$ por lo tanto, este es un muy débil la desigualdad y tiene que ser cierto para todos los $x$ mayor que en el valor mínimo, que en este caso vuelve a ser 13.
¿Qué haría que la desigualdad no es trivial si LHS y RHS son del mismo orden asintótico. Os presento una forma más fuerte de la desigualdad anterior.
Deje $s(x) = \pi(\pi(x)) + \pi(\pi(\pi(x))) + \ldots $.
Pierre Dusart ha demostrado que $$ \pi(x) \ge \frac{x}{\log x - 1}, \ x > 5393 $$
$$ \pi(x) \le \frac{x}{\log x - 1.1}, \ x > 60,184 $$
A partir de estas dos desigualdades y un poco de manipulación algebraica obtenemos
$$ \frac{x}{(\log x - 1)(\log x - 2)} < s(x) < \frac{x}{(\log x - \log\log x)(\log x - \log\log x - 1)} $$
o en el ligeramente más débil pero más sencillo formulario
$$ \frac{x}{(\log x - 1)^2} < s(x) < \frac{x}{(\log x - \log\log x - 1)^2} $$
para todos los $x > 60,184$. Claramente el lado derecho es menos de $\pi(x)$ por lo que el más débil de la desigualdad original de la siguiente manera.
